数学物理方法 修订版PDF电子书下载

第一部分 复变函数 1

第一章 复数与复变函数 1

1.1 预备知识：复数与复数运算 1

1.2 复数序列 5

1.3 复变函数 6

1.4 复变函数的极限和连续 8

1.5 无穷远点 8

1.6 阅读材料：正十七边形的规尺作图原理 9

习题 10

第二章 解析函数 12

2.1 可导与可微 12

2.2 解析函数 13

2.3 初等函数 16

2.4 多值函数 19

2.5 阅读材料：解析函数的保角性 25

习题 27

第三章 复变积分 30

3.1 复变积分 30

3.2 柯西定理 31

3.3 两个有用的引理 35

3.4 柯西积分公式 36

3.5 高阶导数公式及柯西积分公式的其他推论 39

3.6 阅读材料：泊松公式 41

习题 44

第四章 无穷级数 45

4.1 复数级数 45

4.2 二重级数 47

4.3 函数级数 49

4.4 幂级数 50

4.5 阅读材料：发散级数与渐近级数 52

习题 57

第五章 解析函数的无穷级数展开 59

5.1 解析函数的泰勒展开 59

5.2 泰勒级数求法举例 60

5.3 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 64

5.4 解析函数的洛朗展开 65

5.5 洛朗级数求法举例 67

5.6 单值函数的孤立奇点 70

5.7 解析延拓 73

5.8 阅读材料：伯努利数和欧拉数 76

5.9 阅读材料：整函数与半纯函数 77

习题 79

第六章 留数定理及其应用 81

6.1 留数定理 81

6.2 有理三角函数的积分 85

6.3 无穷积分 86

6.4 含三角函数的无穷积分 88

6.5 实轴上有奇点的情形 89

6.6 多值函数的积分 91

6.7 阅读材料：计算含三角函数无穷积分的新方法 94

6.8 阅读材料：应用留数定理计算无穷级数的和 100

习题 101

第七章 Γ函数 104

7.1 含参量积分的解析性 104

7.2 Γ函数的定义 106

7.3 Γ函数的基本性质 108

7.4 ψ函数 110

7.5 B函数 114

7.6 阅读材料：Γ函数的普遍表达式 118

7.7 阅读材料：黎曼ζ函数和乘性莫比乌斯变换 121

习题 124

第八章 拉普拉斯变换 125

8.1 拉普拉斯变换的定义与性质 125

8.2 拉普拉斯积分的收敛性与解析性 128

8.3 拉普拉斯变换的反演 130

8.4 普遍反演公式 134

8.5 利用拉普拉斯变换计算级数和 137

8.6 阅读材料：关于拉普拉斯变换的理论补充 139

习题 142

第九章 二阶线性常微分方程的幂级数解法 144

9.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点 144

9.2 方程常点邻域内的解 145

9.3 方程正则奇点邻域内的解 148

9.4 贝塞耳方程的解 158

9.5 阅读材料：超几何函数 163

9.6 阅读材料：合流超几何函数 166

9.7 阅读材料：方程非正则奇点附近的解 168

习题 172

第十章 综合阅读材料（一） 173

10.1 级数展开的加性莫比乌斯反演 173

10.2 某些无穷积分的变换公式 178

10.3 梅林变换 187

10.4 幂级数展开与常微分方程 198

10.5 二阶线性常微分方程的不变式 206

第二部分 数学物理方程 213

第十一章 数学物理方程和定解条件 213

11.1 弦的横振动方程 213

11.2 杆的纵振动方程 215

11.3 热传导方程 217

11.4 稳定问题 219

11.5 边界条件与初始条件 220

11.6 内部界面上的连接条件 223

11.7 定解问题的适定性 224

习题 226

第十二章 线性偏微分方程的通解 227

12.1 线性偏微分方程解的叠加性 227

12.2 常系数线性齐次偏微分方程的通解 228

12.3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解 231

12.4 特殊的变系数线性齐次偏微分方程 235

12.5 波动方程的行波解 235

12.6 波的耗散和色散 238

12.7 热传导方程的定性讨论 241

12.8 拉普拉斯方程的定性讨论 243

习题 244

第十三章 分离变量法 245

13.1 两端固定弦的自由振动 245

13.2 矩形区域内的稳定问题 251

13.3 多于两个自变量的定解问题 253

13.4 两端固定弦的受迫振动 255

13.5 非齐次边界条件的齐次化 262

习题 267

第十四章 正交曲面坐标系 270

14.1 正交曲面坐标系 270

14.2 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符 271

14.3 拉普拉斯算符的平移、转动和反射不变性 275

14.4 圆形区域 277

14.5 亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量 282

14.6 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量 283

14.7 阅读材料：矢量波动方程和矢量亥姆霍兹方程 285

习题 289

第十五章 球函数 290

15.1 勒让德方程的解 290

15.2 勒让德多项式 292

15.3 勒让德多项式的微分表示与积分表示 295

15.4 勒让德多项式的正交完备性 298

15.5 勒让德多项式的生成函数与递推关系 302

15.6 勒让德多项式应用举例 305

15.7 连带勒让德函数 309

15.8 球面调和函数 312

15.9 阅读材料：勒让德多项式的克里斯托费尔型和式 315

习题 319

第十六章 柱函数 321

16.1 贝塞耳函数和诺伊曼函数 321

16.2 贝塞耳函数的递推关系 324

16.3 贝塞耳函数的渐近展开 326

16.4 整数阶贝塞耳函数的生成函数和积分表示 327

16.5 贝塞耳方程的本征值问题 328

16.6 虚宗量贝塞耳函数 334

16.7 半奇数阶贝塞耳函数 337

16.8 球贝塞耳函数 338

习题 341

第十七章 分离变量法总结 343

17.1 内积空间 343

17.2 函数空间 346

17.3 希尔伯特空间中的线性微分算符 350

17.4 自伴算符的本征值问题 354

17.5 斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题 356

17.6 斯图姆-刘维尔型方程本征值问题的简并现象 362

17.7 从斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题看分离变量法 363

17.8 阅读材料：非厄米算符 366

习题 371

第十八章 偏微分方程定解问题的积分变换解法 374

18.1 拉普拉斯变换方法 374

18.2 傅里叶变换方法 378

18.3 半无界空间的情形 381

18.4 关于积分变换的一般讨论 382

习题 387

第十九章 δ函数 388

19.1 δ函数的定义 388

19.2 利用δ函数计算定积分 392

19.3 常微分方程初值问题的格林函数 394

19.4 常微分方程边值问题的格林函数 399

19.5 求解常微分方程的格林函数方法 402

19.6 阅读材料：广义函数理论简介 406

习题 416

第二十章 偏微分方程定解问题的格林函数解法 418

20.1 稳定问题格林函数的概念 418

20.2 稳定问题格林函数的一般性质 421

20.3 三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数 423

20.4 圆内泊松方程第一边值问题的格林函数 427

20.5 波动方程的格林函数 432

20.6 热传导方程的格林函数 437

习题 440

第二十一章 变分法初步 441

21.1 泛函的概念 441

21.2 泛函的极值 442

21.3 泛函的条件极值 447

21.4 微分方程定解问题和本征值问题的变分形式 450

21.5 变边值问题 452

21.6 瑞利-里兹方法 454

习题 459

第二十二章 数学物理方程综述 461

22.1 二阶线性偏微分方程的分类 461

22.2 线性偏微分方程解法述评 465

22.3 非线性偏微分方程问题 467

习题 471

第二十三章 综合阅读材料（二） 473

23.1 勒让德函数的朗斯基行列式 473

23.2 连带勒让德函数的加法公式 478

23.3 幂级数展开与偏微分方程 483

23.4 贝塞耳函数对阶求导 489

23.5 柱函数的梅林变换 496

参考文献 508

外国人名译名中英对照表 510