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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的基本性质 4

1.1.3 反函数 5

1.1.4 初等函数 6

1.1.5 其他类型的函数 11

习题1.1 14

1.2 数列极限 15

1.2.1 数列极限的定义 15

1.2.2 收敛数列的性质 17

习题1.2 18

1.3 函数极限 19

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 19

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 20

1.3.3 函数极限的性质 22

习题1.3 24

1.4 无穷小量与无穷大量 24

1.4.1 无穷小量 24

1.4.2 无穷大量 26

1.4.3 极限运算法则 26

习题1.4 29

1.5 两个重要极限 30

1.5.1 极限存在的两个准则 30

1.5.2 两个重要极限 32

习题1.5 35

1.6 无穷小量的比较 36

习题1.6 38

1.7 函数的连续性 39

1.7.1 函数连续的概念 39

1.7.2 函数的间断点 41

1.7.3 连续函数的性质初等函数的连续性 42

1.7.4 闭区间上连续函数的性质 44

习题1.7 46

第1章 总习题 47

第2章 导数与微分 49

2.1 导数的概念 49

2.1.1 导数的定义 49

2.1.2 利用定义求导举例 52

2.1.3 函数可导性与连续性的关系 54

习题2.1 55

2.2 函数的求导法则 56

2.2.1 导数的四则运算法则 56

2.2.2 反函数的求导法则 58

2.2.3 复合函数的求导法则 59

2.2.4 隐函数的求导法则 61

2.2.5 由参数方程确定的函数的导数 62

习题2.2 63

2.3 高阶导数 65

习题2.3 69

2.4 函数的微分 69

2.4.1 微分的概念 70

2.4.2 微分基本公式与运算法则 72

2.4.3 微分在近似计算中的应用 73

习题2.4 75

第2章 总习题 76

第3章 微分中值定理与导数的应用 78

3.1 微分中值定理 78

3.1.1 罗尔定理 78

3.1.2 拉格朗日中值定理 79

3.1.3 柯西中值定理 81

3.1.4 泰勒公式 82

习题3.1 84

3.2 洛必达法则 85

3.2.1 0/0与∞/∞型未定式 85

3.2.2 其他类型未定式 88

习题3.2 89

3.3 函数的单调性与曲线的凹凸性 89

3.3.1 函数的单调性 89

3.3.2 曲线的凹凸性 91

习题3.3 93

3.4 函数的极值与最大值、最小值 94

3.4.1 函数的极值 94

3.4.2 函数的最大值与最小值 97

习题3.4 99

3.5 函数图形的描绘 100

3.5.1 曲线的渐近线 100

3.5.2 函数图形的描绘 102

习题3.5 104

3.6 导数在经济学中的应用 104

3.6.1 边际分析 104

3.6.2 弹性分析 106

习题3.6 109

第3章 总习题 109

第4章 不定积分 112

4.1 不定积分的概念与性质 112

4.1.1 原函数的概念 112

4.1.2 不定积分的概念 113

4.1.3 不定积分的性质 115

4.1.4 基本积分公式 115

习题4.1 117

4.2 换元积分法 118

4.2.1 第一类换元法 118

4.2.2 第二类换元法 123

习题4.2 128

4.3 分部积分法 129

习题4.3 133

4.4 有理函数的积分 133

4.4.1 有理函数的积分 133

4.4.2 可化为有理函数的积分 137

习题4.4 139

4.5 积分表的使用 140

习题4.5 141

第4章 总习题 142

第5章 定积分及其应用 145

5.1 定积分的概念与性质 145

5.1.1 引例 145

5.1.2 定积分的定义 146

5.1.3 定积分的性质 149

习题5.1 151

5.2 微积分基本公式 152

5.2.1 可变上限定积分及其导数 152

5.2.2 牛顿－莱布尼茨公式 154

习题5.2 157

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 158

5.3.1 定积分的换元积分法 158

5.3.2 定积分的分部积分法 161

习题5.3 163

5.4 广义积分与Γ函数 164

5.4.1 积分区间为无限的广义积分 164

5.4.2 被积函数为无界的广义积分 166

5.4.3 Γ函数 168

习题5.4 169

5.5 定积分的应用 170

5.5.1 定积分的元素法 170

5.5.2 平面图形的面积 171

5.5.3 体积 174

5.5.4 经济学、生物学等方面的应用实例 175

习题5.5 177

5.6 定积分的近似计算 178

5.6.1 矩形法 178

5.6.2 梯形法 179

习题5.6 180

第5章 总习题 180

第6章 多元函数微积分 183

6.1 空间解析几何简介 183

6.1.1 空间直角坐标系 183

6.1.2 空间曲面 185

习题6.1 187

6.2 多元函数的极限与连续 188

6.2.1 区域 188

6.2.2 多元函数概念 189

6.2.3 二元函数的极限 190

6.2.4 二元函数的连续性 190

习题6.2 192

6.3 偏导数 193

6.3.1 偏导数的概念 193

6.3.2 高阶偏导数 195

习题6.3 196

6.4 全微分 197

6.4.1 全微分的概念与存在条件 197

6.4.2 全微分在近似计算中的应用 199

习题6.4 199

6.5 多元复合函数与隐函数的求导法则 200

6.5.1 多元复合函数的求导法则 200

6.5.2 多元隐函数的求导法则 201

6.5.3 全微分形式不变性 203

习题6.5 204

6.6 多元函数的极值及其应用 205

6.6.1 多元函数的极值 205

6.6.2 条件极值 207

6.6.3 多元函数的最大值与最小值 209

习题6.6 210

6.7 二重积分 211

6.7.1 二重积分的概念与性质 211

6.7.2 二重积分的计算 213

习题6.7 221

第6章 总习题 223

第7章 微分方程与差分方程 225

7.1 微分方程的基本概念 225

习题7.1 228

7.2 可分离变量的微分方程 229

7.2.1 可分离变量的微分方程 229

7.2.2 齐次微分方程 232

习题7.2 234

7.3 一阶线性微分方程 235

习题7.3 238

7.4 可降阶的高阶微分方程 239

7.4.1 y(n)＝f(x)型的微分方程 239

7.4.2 y″＝f(x,y′)型的微分方程 240

7.4.3 y″＝f(y,y′)型的微分方程 241

习题7.4 242

7.5 高阶线性微分方程 242

7.5.1 二阶线性微分方程解的结构 242

7.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程 244

7.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 247

习题7.5 250

7.6 差分方程的基本概念 251

7.6.1 差分的概念与性质 252

7.6.2 差分方程的概念 253

习题7.6 253

7.7 常系数线性差分方程 254

7.7.1 一阶常系数线性差分方程 254

7.7.2 二阶常系数线性差分方程 257

习题7.7 259

第7章 总习题 259

第8章 无穷级数 261

8.1 常数项级数 261

8.1.1 级数敛散性概念 261

8.1.2 收敛级数的基本性质 263

习题8.1 265

8.2 常数项级数敛散性判别方法 266

8.2.1 正项级数敛散性判别方法 266

8.2.2 交错项级数敛散性判别方法 270

8.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 271

习题8.2 272

8.3 幂级数 273

8.3.1 函数项级数的概念 273

8.3.2 幂级数及其收敛域 274

8.3.3 幂级数的运算 277

习题8.3 279

8.4 函数的幂级数展开 279

8.4.1 泰勒级数 279

8.4.2 函数展开成幂级数 280

习题8.4 285

第8章 总习题 285

第9章 高等数学实验 287

9.1 MATLAB操作基础 287

9.1.1 MATLAB桌面平台 287

9.1.2 MATLAB帮助系统 290

9.1.3 MATLAB的基本命令与函数 290

9.1.4 MATLAB的数值计算 292

9.1.5 MATLAB的程序设计 295

9.2 基于MATLAB的高等数学实验 300

9.2.1 求极限 300

9.2.2 求导数 301

9.2.3 泰勒级数逼近计算器 302

9.2.4 二维与三维图像描绘 302

9.2.5 非线性方程求根 307

9.2.6 求积分 309

9.2.7 求解微分方程 311

9.3 数学建模案例 314

附录一 常用三角函数公式 320

附录二 希腊字母表 321

附录三 积分表 322

部分习题答案与提示 331