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第1章 张量理论基础 1

1.1 指标、符号 2

1.1.1 求和约定、哑指标和自由指标 2

1.1.2 Kronecker符号和Ricci符号 4

1.1.3 行列式的指标表示 4

1.2 斜角直线坐标系的基向量和度量张量 5

1.2.1 斜角直线坐标系 5

1.2.2 斜变基向量和逆变基向量 6

1.2.3 度量张量 7

1.3 基向量的点积、叉积和混合积，置换张量 8

1.3.1 基向量的点积、叉积和混合积 8

1.3.2 置换张量、置换张量与Kronecker δ的关系 9

1.4 向量的代数运算 10

1.4.1 加、减 11

1.4.2 点积 11

1.4.3 叉积 12

1.4.4 混合积 13

1.4.5 并积 13

1.5 坐标变换、向量分量的坐标变换公式、向量的解析定义 15

1.6 张量的定义、张量性证明 17

1.7 张量的代数运算 20

1.7.1 加减 21

1.7.2 指标的升降 21

1.7.3 并积 21

1.7.4 缩并、二阶张量的迹 22

1.7.5 点积、二阶张量的点积、逆张量和正则张量 22

1.7.6 叉积 24

1.7.7 指标的置换、张量的对称化和反对称化 24

1.8 二阶张量的转置、行列式、加法分解和反对称张量 25

1.8.1 二阶张量的转置和行列式 25

1.8.2 加法分解 27

1.8.3 反对称二阶张量 27

1.9 二阶张量的不变量、主值和主方向，正则与退化二阶张量 28

1.9.1 二阶张量的不变量 28

1.9.2 对称二阶张量的主值和主方向 30

1.9.3 非对称二阶张量的主值和主方向 33

1.9.4 正则二阶张量和退化二阶张量 35

1.10 正交张量、有限转动和二阶张量的乘法分解（极分解） 36

1.10.1 正交张量的定义和性质 36

1.10.2 正交张量与有限转动及反射 37

1.10.3 极分解定理 40

1.11 球形张量和偏斜张量 41

1.12 二阶张量与矩阵 42

1.13 曲线坐标系 43

1.13.1 曲线坐标系的定义 43

1.13.2 基向量、度量张量和坐标变换系数 44

1.13.3 线元、面元和体元 46

1.14 Christoffel符号 47

1.15 向量的协变导数、微分算子 50

1.16 张量的协变导数和微分 54

1.17 张量微分运算与代数运算的比较 57

1.18 二阶协变导数、曲率张量 59

1.19 向量和张量场的积分定理 61

1.19.1 Gauss定理（散度定理）和Green变换 62

1.19.2 Stokes定理 63

1.20 正交曲线坐标系和直角坐标系中的张量分析，非完整系和物理分量 64

1.20.1 物理标架、物理分量和正交曲线坐标系 64

1.20.2 圆柱坐标系中的张量分析 66

1.20.3 球坐标系中的张量分析 67

1.20.4 直角坐标系中的张量分析 69

1.21 张量函数、各向同性张量函数、Cayley-Hamilton定理、表示定理 69

1.21.1 张量函数 69

1.21.2 各向同性张量和各向同性张量函数 70

1.21.3 Cayley-Hamilton定理 73

1.21.4 表示定理 74

1.22 张量函数的微分和导数 76

1.22.1 定义 76

1.22.2 复合函数和乘积的导数 78

1.22.3 二阶张量主不变量的导数 80

1.23 两点张量 80

习题 84

第2章 变形与运动 91

2.1 坐标系、连续性公理 92

2.2 随体坐标系、变形梯度张量 95

2.3 纯变形的度量——变形张量、应变张量、广义应变张量、相对应变张量 99

2.3.1 常用变形张量和应变张量 99

2.3.2 位移梯度、变形张量和应变张量的位移表示 102

2.3.3 直角坐标系中的应变张量及其几何意义 103

2.3.4 广义应变张量、Seth应变张量 105

2.3.5 相对变形梯度和相对变形张量 106

2.4 长度、夹角、面积和体积变化 109

2.4.1 伸长率 109

2.4.2 夹角的改变 110

2.4.3 面积和体积的变化 111

2.5 主应变、主方向、应变不变量、应变椭球 112

2.6 转动张量、变形基本定理、变形状态总结 115

2.7 变形协调方程 118

2.8 一些简单的有限变形 120

2.8.1 均匀伸长（或缩短） 120

2.8.2 简单剪切 121

2.8.3 圆柱体的纯扭转 124

2.8.4 立方体的纯弯曲 125

2.9 有限变形的简化 127

2.10 物质导数 130

2.10.1 物质导数定义 131

2.10.2 标量、向量、张量的物质导数 133

2.10.3 基向量和度量张量的物质导数 134

2.10.4 两点张量的物质导数 135

2.11 速度和加速度、迹线和流线 135

2.12 速度梯度、一些几何变量的物质导数 136

2.13 变形率张量、自旋张量和旋度 139

2.13.1 纯变形速率 139

2.13.2 局部刚性转动的时间变率 141

2.14 变形张量与应变张量的物质导数、相对物质导数、高阶相对物质导数 144

2.14.1 变形张量和应变张量的物质导数 144

2.14.2 相对变形梯度和相对变形张量的物质导数 146

2.14.3 相对变形张量的高阶物质导数、Rivlin-Ericksen张量 147

2.15 曲线、曲面和体积积分的物质导数及输运定理 149

2.15.1 线积分的物质导数 149

2.15.2 面积分的物质导数 150

2.15.3 体积分的物质导数 150

2.15.4 速度环量及其物质导数 152

习题 154

第3章 应力 159

3.1 外力、内力和应力向量 159

3.2 Cauchy应力向量与Cauchy应力张量 160

3.3 Piola应力张量与Kirchhoff应力张量 164

3.4 主应力、主方向、应力张量不变量、应力二次曲面 168

3.5 最大和最小剪应力 170

3.6 小应变、小转动时的应力张量 172

习题 173

第4章 守恒定律 175

4.1 质量守恒定律 175

4.2 动量守恒定律 177

4.2.1 Cauchy动量方程 177

4.2.2 Boussinesq动量方程和Kirchhoff动量方程 178

4.2.3 动量方程的物理意义 179

4.2.4 动量方程的变率形式 181

4.3 动量矩守恒定律 182

4.4 能量守恒定律 183

4.4.1 热力学系统 183

4.4.2 机械能守恒定律 184

4.4.3 能量守恒定律 186

4.5 熵不等式（热力学第二定律） 188

4.6 小应变和小转动时的动量方程 191

4.7 间断面处的守恒定律——间断（跳跃）条件 192

4.7.1 变量的间断面 192

4.7.2 含间断面的输运定理 192

4.7.3 含间断面的体积分和面积分——推广形式 193

4.7.4 间断面处的守恒定律 194

习题 196

第5章 本构理论基础 198

5.1 本构方程的提出 198

5.2 本构理论公理 199

5.2.1 因果关系公理 200

5.2.2 确定性公理 200

5.2.3 等存在公理 201

5.2.4 客观性公理 201

5.2.5 物质对称性公理 203

5.2.6 邻域公理 204

5.2.7 记忆公理 204

5.2.8 相容性公理 205

5.3 本构关系的一般形式和简单物质 205

5.4 状态变量、守恒定律和本构关系的客观性分析 208

5.4.1 标架的刚性运动及客观性的两种定义 208

5.4.2 物理量的客观性 211

5.4.3 应力率、应变率及其客观性和Jaumann导数 215

5.4.4 守恒定律的客观性 220

5.4.5 简单物质本构方程的客观性要求 222

5.5 物质对称性分析 223

5.5.1 参考构形变换和对称群概念 223

5.5.2 物质对称性要求 225

5.5.3 交对称群和各向同性物质 228

5.6 简单物质一般本构方程的各种形式、理想物质 229

5.6.1 一般本构方程的各种形式 230

5.6.2 简单流体 232

5.6.3 简单固体 233

5.6.4 简单流晶 234

5.7 本构关系的研究方法简介 234

5.7.1 本构方程的热力学基础及应用 234

5.7.2 内变量理论及其应用 237

5.7.3 张量函数的表示定理及其应用 241

5.7.4 内部约束条件的应用 242

习题 244

第6章 弹性和塑性 246

6.1 线弹性、几何线性（经典线性） 246

6.1.1 线性弹性体 246

6.1.2 线弹性力学基本方程和解法 251

6.1.3 变分原理和近似解法 253

6.2 线弹性、几何非线性 260

6.2.1 基本关系及虚功原理 260

6.2.2 增量形式虚功原理——完全Lagrange（T.L．）格式 263

6.2.3 增量形式虚功原理——更新Lagrange（U.L．）格式 267

6.2.4 有限变形下的变分原理 272

6.3 弹性稳定性、屈曲和后屈曲 276

6.3.1 稳定性概念和稳定准则 276

6.3.2 Koiter初始后屈曲理论 282

6.3.3 板壳结构的后屈曲 287

6.4 Cauchy弹性体和超弹性体 297

6.4.1 Cauchy弹性体本构关系的一般形式 297

6.4.2 超弹性体的本构关系 299

6.4.3 橡胶材料的超弹性本构关系 304

6.4.4 超弹性材料简单有限变形的应力分析 307

6.4.5 有限变形超弹性变分原理 310

6.5 热弹性 310

6.5.1 热弹性概念 310

6.5.2 热弹性本构关系 311

6.5.3 热弹性基本方程 315

6.6 塑性 318

6.6.1 金属的单向拉伸压缩实验及塑性变形概念 318

6.6.2 屈服条件 321

6.6.3 加、卸载准则和一致性条件 326

6.6.4 增量型小变形塑性本构关系（流动理论） 327

6.6.5 全量型小变形塑性本构关系（形变理论） 331

6.6.6 塑性流动理论的基本假设 333

6.6.7 有限变形塑性理论（Prandtl-Reuss理论的推广） 337

6.6.8 大变形塑性理论概述（Rice-Hill理论） 338

习题 343

第7章 黏弹性 349

7.1 概述 349

7.1.1 黏弹性概念 349

7.1.2 蠕变和松弛现象 350

7.1.3 影响黏弹性的因素 351

7.2 一维简单模型 352

7.2.1 Maxwell模型 353

7.2.2 Kelvin模型 354

7.2.3 三参量固体 355

7.2.4 蠕变函数和松弛函数 356

7.3 广义Maxwell模型和广义Kelvin模型 357

7.3.1 广义Maxwell模型 357

7.3.2 广义Kelvin模型 359

7.4 线性黏弹性一维本构方程 360

7.4.1 微分型本构方程 360

7.4.2 积分型本构方程 361

7.5 简谐交变载荷下的滞后响应及动态模量 363

7.6 三维线性黏弹性本构关系 366

7.7 非线性黏弹性本构关系 368

7.7.1 Green-Rivlin多重积分本构理论 368

7.7.2 各向同性情况 370

7.7.3 单积分三维非线性本构关系 371

7.8 线性黏弹性力学基本方程与对应原理 373

习题 375

第8章 流体 377

8.1 流体的本构方程和基本关系 377

8.1.1 流体的一般特点 377

8.1.2 流体的本构方程 378

8.1.3 流体力学基本关系 380

8.2 流体运动的一些基本概念 382

8.3 非黏性流体 384

8.3.1 大雷诺数流动 384

8.3.2 欧拉方程及兰姆-葛罗米柯方程 385

8.3.3 伯努利方程 386

8.3.4 涡量守恒条件及Kelvin定理 387

8.4 牛顿黏性流体 388

8.4.1 纳维-斯托克斯方程 388

8.4.2 边界层概念和特点 389

8.5 Rivlin-Ericksen流体的简单流动 391

8.5.1 平面剪切流 391

8.5.2 轴对称剪切流 394

8.5.3 恒定单向拉伸历史流动 398

习题 400

参考文献 402