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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、集合、区间与邻域 1

二、函数的概念与性质 3

三、反函数与复合函数 5

四、初等函数 6

第二节 函数的极限 10

一、数列极限及性质 10

二、函数极限及性质 15

三、无穷小与无穷大 21

四、极限运算法则 23

五、极限存在准则和两个重要极限 27

六、无穷小的比较 33

第三节 函数的连续性与间断点 36

一、函数的连续性 36

二、函数的间断点 38

第四节 初等函数的连续性 40

一、连续函数四则运算的连续性 40

二、反函数与复合函数的连续性 40

三、初等函数的连续性 40

第五节 闭区间上连续函数的性质 42

一、最大值和最小值定理 43

二、介值定理与零点定理 44

本章小结 45

习题一 46

第二章 导数与微分 52

第一节 导数概念 52

一、引例 52

二、导数的定义 53

三、导数的几何意义 57

四、可导与连续的关系 57

第二节 函数的求导法则 58

一、函数的和、差、积、商的求导法则 58

二、反函数的求导法则 61

三、复合函数的求导法则 62

四、基本求导法则与导数公式 64

第三节 高阶导数 65

第四节 隐函数及其参数方程所确定的函数的导数 67

一、隐函数的导数 67

二、由参数方程所确定的函数的导数 70

第五节 函数的微分 72

一、微分的定义 72

二、微分的几何意义 74

三、基本微分公式与微分法则 75

四、微分形式的不变性 76

五、微分的应用 78

本章小结 79

习题二 80

第三章 微分中值定理与导数的应用 83

第一节 微分中值定理 83

一、罗尔中值定理 83

二、拉格朗日中值定理 84

三、泰勒中值定理 85

四、柯西中值定理 88

第二节 洛必达法则 88

一、0/0型未定式 88

二、∞/∞型未定式 90

三、其他类型未定式 91

第三节 函数单调增减性及曲线的凸凹性 93

一、函数的单调性 93

二、曲线的凹凸性及拐点 95

第四节 函数的极值与最大值、最小值 97

一、极值的定义 97

二、极值存在的条件 97

三、最大值、最小值 100

第五节 函数图形的描绘 102

本章小结 105

习题三 105

第四章 不定积分 108

第一节 不定积分的概念与性质 108

一、原函数与不定积分的概念 108

二、基本积分表 111

三、不定积分的性质 112

第二节 换元积分法 114

一、第一类换元积分法（凑微分法） 114

二、第二类积分换元法 119

第三节 分部积分法 123

第四节 有理函数的积分 127

一、有理函数的积分 127

二、可化为有理函数的积分举例 129

本章小结 130

习题四 131

第五章 定积分及其应用 134

第一节 定积分的概念 134

一、引例 134

二、定积分的概念 136

三、定积分的几何意义 138

四、定积分的基本性质 138

第二节 微积分的基本定理 141

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 142

二、积分上限函数及其导数 142

三、牛顿-莱布尼兹公式 144

第三节 定积分的换元法和分部积分法 145

一、定积分的换元法 145

二、定积分的分部积分法 148

第四节 反常积分 150

一、无穷限的反常积分 150

二、无界函数的反常积分 151

第五节 定积分的应用 153

一、定积分的元素法 153

二、定积分的几何应用 154

三、定积分的物理应用 163

本章小结 164

习题五 166

第六章 向量代数与空间解析几何 169

第一节 空间直角坐标系 169

一、空间点的直角坐标 169

二、空间两点的距离 170

第二节 向量代数 172

一、向量的概念 172

二、向量的线性运算 173

三、向量的坐标 175

四、向量的模、方向角、投影 177

五、向量的数量积与向量积 180

第三节 平面及其方程 184

一、平面的点法式方程 184

二、平面的一般方程 185

三、两平面的夹角 186

第四节 空间直线及其方程 188

一、空间直线的一般方程 188

二、空间直线的对称式方程与参数方程 189

三、两直线的夹角 191

四、直线与平面的夹角 192

第五节 曲面及其方程 193

一、曲面方程的概念 193

二、旋转曲面 194

三、柱面 195

四、二次曲面 196

第六节 空间曲线及其方程 200

一、空间曲线的一般方程 200

二、空间曲线的参数方程 201

三、空间曲线在坐标面上的投影 202

本章小结 203

习题六 208

第七章 多元函数微分法及其应用 211

第一节 多元函数的基本概念 211

一、平面点集、n维空间 211

二、多元函数的概念 213

三、二元函数的极限 214

四、二元函数的连续 216

第二节 偏导数 217

一、偏导数的定义及其计算方法 217

二、二元函数偏导数的几何意义 220

三、高阶偏导数 221

第三节 全微分 222

一、全微分的定义 222

二、可微、偏导数及连续之间的关系 223

三、全微分在近似计算中的应用 224

第四节 多元复合函数和隐函数的求导法则 225

一、多元复合函数的求导法则 225

二、隐函数求导法则 229

第五节 偏导数的几何应用 231

一、空间曲线的切线与法平面 231

二、曲面切平面与法线 232

第六节 多元函数的极值及其最值 235

一、极值的定义 235

二、极值存在的条件 236

三、最大值与最小值 237

四、拉格朗日乘数法 239

本章小结 240

习题七 241

第八章 重积分 244

第一节 二重积分的概念与性质 244

一、二重积分的概念 244

二、二重积分的性质 246

第二节 二重积分的计算方法 248

一、直角坐标下二重积分的计算 248

二、利用极坐标计算二重积分 255

第三节 三重积分 258

一、三重积分的概念 258

二、三重积分的计算 259

第四节 重积分的应用 264

一、曲面的面积 264

二、质心 266

本章小结 268

习题八 270

第九章 微分方程 272

第一节 微分方程的基本概念 272

一、引例 272

二、微分方程的基本概念 274

第二节 一阶微分方程 277

一、可分离变量方程 277

二、齐次方程 279

三、一阶线性微分方程 281

四、伯努利方程 286

第三节 可降阶的高阶微分方程 287

一、y（n）=f（x）型的微分方程 288

二、y〃= f （x， y′）型的微分方程 289

三、y″ = f（y，y’）型的微分方程 290

第四节 二阶常系数微分方程 292

一、通解的结构 293

二、二阶常系数齐次线性微分方程 295

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 300

第五节 微分方程的应用实例 306

一、物体冷却过程的数学模型 306

二、动力学问题 307

三、人口模型 309

本章小结 311

习题九 313

第十章 无穷级数 316

第一节 常数项级数的概念与基本性质 316

一、常数项级数的概念 316

二、常数项级数的基本性质 318

第二节 常数项级数敛散性的判别方法 320

一、正项级数及其敛散性的判别方法 320

二、交错级数及其敛散性的判别方法 324

三、绝对收敛与条件收敛 326

第三节 幂级数 328

一、函数项级数的基本概念 328

二、幂级数及其敛散性 328

三、幂级数的运算 332

四、函数展开成幂级数 334

五、幂级数在近似计算中的应用 339

本章小结 341

习题十 342

习题答案与提示 345

参考文献 364