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第1章 函数与极限 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的运算 2

1.1.3 区间与邻域 2

1.2 函数 3

1.2.1 函数的概念 3

1.2.2 函数的几种特性 6

1.2.3 反函数 9

1.2.4 复合函数 10

1.2.5 基本初等函数 10

1.2.6 初等函数 12

1.3 数列的极限 12

1.3.1 数列极限的概念 14

1.3.2 数列极限的性质 15

1.4 函数的极限 15

1.4.1 函数极限的定义 15

1.4.2 函数极限的性质 19

1.4.3 极限的四则运算法则 19

1.4.4 复合运算法则 21

1.4.5 两个重要极限 22

1.5 连续函数及其运算 26

1.5.1 连续函数的概念 26

1.5.2 函数的间断点及其分类 27

1.5.3 连续函数的运算 29

1.5.4 初等函数的连续性 30

1.5.5 闭区间上连续函数的性质 30

章后习题 33

第2章 一元函数微分学及其应用 35

2.1 导数的概念 35

2.1.1 导数的定义 35

2.1.2 求导举例 36

2.1.3 导数的几何意义 38

2.1.4 函数的可导性与连续性之间的关系 39

2.2 求导基本法则 40

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 40

2.2.2 反函数的求导法则 44

2.2.3 复合函数求导法则 45

2.2.4 初等函数的导数 47

2.2.5 高阶导数 49

2.2.6 隐函数的导数 52

2.2.7 由参数方程所确定的函数的导数 53

2.3 微分 54

2.3.1 微分的概念 54

2.3.2 微分的几何意义 57

2.3.3 微分的计算 57

2.4 微分中值定理 60

2.4.1 Rolle中值定理 60

2.4.2 Lagrange中值定理 61

2.4.3 Cauchy中值定理 63

2.5 L'Hospital法则 64

2.5.1 0/0型未定式定值法 64

2.5.2 ∞/∞型未定式定值法 66

2.5.3 其它未定式定值法 67

2.6 函数的单调性与极值 69

2.6.1 函数的单调性的判别法 69

2.6.2 函数的极值 71

2.7 函数的凸性与拐点 74

章后习题 76

第3章 积分及其应用 79

3.1 不定积分的概念和性质 79

3.1.1 原函数与不定积分 79

3.1.2 不定积分的性质 81

3.1.3 基本积分公式 81

3.2 换元积分法 83

3.2.1 第一类换元积分法 83

3.2.2 第二类换元积分法 86

3.3 分部积分法 89

3.4 有理函数的积分 93

3.4.1 简单有理函数的积分 93

3.4.2 三角函数有理式的积分 96

3.5 定积分的概念与性质 97

3.5.1 定积分的定义 98

3.5.2 定积分的性质 99

3.6 微积分学基本定理 103

3.6.1 积分上限的函数与原函数存在定理 104

3.6.2 Newton—Leibniz公式 105

3.7 定积分的换元积分法与分部积分法 107

章后习题 113

第4章 向量代数与空间解析几何 117

4.1 向量及其运算 117

4.1.1 空间直角坐标系 117

4.1.2 向量的概念 118

4.1.3 向量的线性运算 119

4.1.4 向量的坐标 121

4.1.5 向量的乘积运算 124

4.2 平面与直线 128

4.2.1 平面 128

4.2.2 直线 132

4.3 曲面与曲线 136

4.3.1 柱面和旋转曲面 136

4.3.2 二次曲面 138

4.3.3 曲线方程 140

章后习题 142

第5章 多元函数微分学 144

5.1 多元函数的基本概念 144

5.1.1 平面点集 144

5.1.2 多元函数 145

5.1.3 多元函数的极限和连续性 147

5.2 偏导数和全微分 148

5.2.1 偏导数 148

5.2.2 高阶偏导数 151

5.2.3 全微分 152

5.3 复合函数与隐函数微分法 156

5.3.1 复合函数的微分法 156

5.3.2 隐函数的微分法 160

5.4 多元函数的极值问题 162

5.4.1 多元函数的极值问题 163

章后习题 165

第6章 多元函数积分学 169

6.1 二重积分 169

6.1.1 二重积分的概念 169

6.1.2 二重积分的性质 170

6.1.3 在直角坐标系下计算二重积分 172

6.1.4 在极坐标系下计算二重积分 176

6.2 三重积分 179

6.2.1 三重积分的概念和性质 179

6.2.2 在直角坐标系下计算三重积分 180

6.2.3 在柱面坐标系和球面坐标系下计算三重积分 183

6.3 第一型曲线、曲面积分 186

6.3.1 第一型曲线积分的概念与性质 186

6.3.2 第一型曲线积分的计算 187

6.3.3 第一型曲面积分的概念与性质 189

6.3.4 第一型曲面积分的计算 190

6.4 第二型曲线、曲面积分 193

6.4.1 第二型曲线积分的概念与性质 193

6.4.2 两种曲线积分之间的关系 194

6.4.3 第二型曲线积分的计算 195

6.4.4 第二型曲面积分的概念与性质 198

6.4.5 第二型曲面积分的计算 199

6.5 Green公式和Gauss公式及其应用 204

6.5.1 Green公式 204

6.5.2 平面曲线积分与路径无关的条件 208

6.5.3 Gauss公式 210

章后习题 213

第7章 无穷级数 221

7.1 常数项级数及性质 221

7.1.1 常数项级数的概念 221

7.1.2 无穷级数的基本性质 224

7.2 数项级数收敛性的判别法 225

7.2.1 正项级数及其判别法 225

7.2.2 交错级数及其判别法 232

7.2.3 绝对收敛与条件收敛 233

7.3 函数项级数 235

7.4 幂级数 236

7.4.1 幂级数及其收敛域 236

7.4.2 幂级数的运算与性质 240

7.5 函数的幂级数展开 242

7.5.1 Taylor级数 242

7.5.2 函数的幂级数展开 244

7.6 Fourier级数 249

7.6.1 三角函数系的正交性 249

7.6.2 以2π为周期的函数的Fourier级数 249

7.6.3 奇、偶函数的展开 254

7.6.4 函数展开成正弦级数或余弦级数 255

7.6.5 以21为周期的函数的Fourier级数 256

章后习题 260

第8章 微分方程 267

8.1 微分方程的基本概念 267

8.1.1 微分方程的概念 267

8.2 一阶微分方程 269

8.2.1 可分离变量的微分方程 270

8.2.2 齐次方程 271

8.2.3 一阶线性微分方程 274

8.3 可降阶的高阶微分方程 276

8.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程 276

8.3.2 yn=f（x,y′）型的微分方程 277

8.3.3 yn=f（y,y′）型的微分方程 279

8.4 高阶线性微分方程及其通解结构 280

8.4.1 二阶齐次线性微分方程的通解结构 280

8.4.2 二阶非齐次线性微分方程的通解结构 282

8.5 二阶常系数齐次线性微分方程 283

8.5.1 特征方程具有两个不相等的实根 284

8.5.2 特征方程具有两个相等的实根 284

8.5.3 特征方程具有一对共轭的复根 286

8.6 二阶常系数非齐次线性微分方程 287

8.7 Euler方程 290

8.8 常系数线性微分方程组的解法举例 292

章后习题 293

参考文献 297