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第1章 函数极限与连续 1

1.1函数 1

1.1.1函数的定义 1

1.1.2函数的性质 3

1.1.3复合函数和反函数 5

1.1.4初等函数 6

1.1.5双曲函数 9

习题1.1 11

1.2数列的极限 13

1.2.1数列的定义 13

1.2.2数列的极限 14

1.2.3收敛数列的性质 16

1.2.4数列的子列 18

习题1.2 19

1.3函数的极限 20

1.3.1函数极限的定义 20

1.3.2函数极限的性质 23

1.3.3.函数极限与数列极限的关系 24

习题1.3 25

1.4极限运算法则 26

1.4.1极限的四则运算法则 26

1.4.2有理分式函数的极限 27

1.4.3复合函数的极限运算法则 29

习题1.4 30

1.5极限存在定理 两个重要极限 31

1.5.1夹逼收敛定理 31

1.5.2单调有界定理 34

习题1.5 36

1.6无穷大量与无穷小量 38

1.6.1无穷大量 38

1.6.2无穷小量 38

1.6.3无穷小量阶的比较 39

习题1.6 42

1.7函数的连续性与间断点 43

1.7.1函数连续性的定义 43

1.7.2函数的间断点 45

习题1.7 47

1.8连续函数的运算及其性质 48

1.8.1连续函数的四则运算 48

1.8.2反函数与复合函数的连续性 49

1.8.3初等函数的连续性 50

1.8.4闭区间上连续函数的性质 51

习题1.8 53

1.9曲线的渐近线 54

习题1.9 56

自测题1 57

第2章 导数与微分 59

2.1导数的概念 59

2.1.1导数的定义 60

2.1.2几种常见函数的导数 61

2.1.3单侧导数 63

2.1.4导数的几何意义 64

2.1.5函数可导性与连续性的关系 66

习题2.1 66

2.2函数的求导法则 68

2.2.1函数和、差、积、商的求导法则 68

2.2.2反函数的求导法则 70

2.2.3复合函数的求导法则 71

2.2.4基本求导法则与导数公式 73

习题2.2 74

2.3高阶导数 75

2.3.1高阶导数的定义 75

2.3.2高阶导数的运算法则 77

2.3.3常用高阶导数公式 77

习题2.3 79

2.4隐函数、对数函数及由参数方程所确定的函数的导数 79

2.4.1隐函数的导数 79

2.4.2对数函数的导数 81

2.4.3由参数方程所确定的函数的导数 82

2.4.4极坐标下函数的导数 84

习题2.4 85

2.5函数的微分及其应用 86

2.5.1微分的定义 86

2.5.2微分的几何意义 88

2.5.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则 89

2.5.4微分在近似计算中的应用 91

习题2.5 92

自测题2 93

第3章 微分中值定理及其应用 96

3.1微分中值定理 96

3.1.1罗尔中值定理 96

3.1.2拉格朗日中值定理 98

3.1.3柯西中值定理 101

习题3.1 103

3.2洛必达法则 104

3.2.1 0/0型未定式 104

3.2.2 ∞/∞型未定式 106

3.2.3其他类型的未定式 108

习题3.2 110

3.3函数的单调性与极值 111

3.3.1函数的单调性 111

3.3.2函数的极值 114

习题3.3 117

3.4函数的凹凸性与拐点 118

3.4.1函数凹凸性的定义 118

3.4.2函数凹凸性的判定 119

3.4.3曲线的拐点 120

3.4.4函数图形的描绘 122

习题3.4 124

3.5函数的最值及其应用 125

习题3.5 127

3.6导数的应用 128

3.6.1弧微分 128

3.6.2曲率及其计算公式 129

3.6.3.曲率圆 131

3.6.4.导数在经济学中的应用 133

习题3.6 136

自测题3 137

第4章 不定积分 140

4.1不定积分的概念与性质 140

4.1.1原函数与不定积分的概念 140

4.1.2不定积分的性质 142

4.1.3不定积分的几何意义 143

4.1.4基本积分公式 144

习题4.1 146

4.2不定积分的计算（一） 146

4.2.1直接积分法 147

习题4.2 149

4.3不定积分计算（二） 149

4.3.1第一类换元法 149

4.3.2第二类换元积分法 157

习题4.3 163

4.4不定积分的计算（三） 164

4.4.1分部积分法 164

习题4.4 170

4.5有理函数与可化为有理函数的不定积分 170

4.5.1有理函数的积分 171

4.5.2三角函数有理式的不定积分 174

4.5.3简单无理式的积分 177

习题4.5 179

自测题4 179

第5章 定积分 184

5.1定积分的概念 184

5.1.1引例 184

5.1.2定积分的定义 186

5.1.3定积分的几何意义 188

5.1.4定积分存在定理 188

习题5.1 190

5.2定积分的基本性质 191

习题5.2 195

5.3微积分基本定理，定积分计算（一） 196

5.3.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 197

5.3.2积分上限的函数及其导数 197

5.3.3微积分基本定理 201

习题5.3 203

5.4定积分的计算（二） 205

5.4.1定积分的换元法 205

5.4.2定积分的分部积分法 210

5.4.3定积分的近似计算 213

习题5.4 215

5.5反常积分 218

5.5.1定积分的局限性 218

5.5.2两类反常积分的定义 218

5.5.3两类反常积分的性质与计算 224

习题5.5 225

5.6反常积分的审敛法与Γ函数 226

5.6.1比较审敛法 226

5.6.2狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 228

5.6.3无界函数反常积分审敛法 229

5.6.4 Γ函数 231

习题5.6 233

自测题5 233

第6章 定积分的应用 240

6.1定积分的微元法 240

习题6.1 241

6.2定积分在几何上的应用 241

6.2.1平面图形的面积 241

6.2.2立体体积 248

6.2.3曲线的弧长 253

6.2.4.旋转曲面的面积 256

习题6.2 257

6.3定积分在物理学上的应用 259

6.3.1质量与质心 259

6.3.2液体静压力与引力 260

6.3.3变力沿直线做功 261

习题6.3 263

6.4定积分在经济学上的应用 265

习题6.4 267

自测题6 267

第7章 常微分方程 271

7.1常微分方程的基本概念 271

习题7.1 274

7.2一阶微分方程 275

7.2.1可分离变量的一阶微分方程 275

7.2.2齐次微分方程 276

7.2.3一阶线性微分方程 279

7.2.4.伯努利方程 282

习题7.2 283

7.3可降阶的高阶微分方程 284

7.3.1y（n）=f（x）的形式 284

7.3.2 y""=f（x， y’）的形式 285

7.3.3 y"" =f（y，y’）的形式 286

习题7.3 287

7.4二阶齐次线性微分方程 287

7.4.1二阶齐次线性微分方程解的结构 288

7.4.2二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法 289

习题7.4 292

7.5二阶非齐次线性微分方程 293

7.5.1二阶非齐次线性微分方程解的结构 293

7.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程通解的解法 295

习题7.5 302

7.6常微分方程的应用 303

7.6.1 几何学应用 303

7.6.2物理学应用 304

7.6.3其他学科应用 306

自测题7 307

附录 309

附录A常用外文字母字体表 309

附录B几种常用的曲线 311

附录C积分表 314

附录D常用数学公式表 324

部分习题答案与提示 339

参考文献 367