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第一部分 高等数学 1

第一章 函数、极限与连续 1

一、常考问题与方法技巧 1

1.考查函数各种特性的问题 1

2.求极限问题 2

3.关于无穷小量阶的问题 15

4.判断函数f（x）在x=x0处连续与间断的问题 18

5.利用闭区间上连续函数的性质证明相关问题 21

二、单元检测 22

第二章 一元函数微分学 29

一、常考问题与方法技巧 29

1.考查导数、微分概念的问题 29

2.导数与微分的计算问题 33

3.求高阶导数的问题 37

4.利用导数求平面曲线的切线方程、法线方程问题 42

5.利用罗尔定理证明中值问题 43

6.利用拉格朗日中值定理证明中值问题 45

7.利用柯西中值定理证明中值问题 47

8.利用泰勒公式证明中值问题 48

9.函数的单调性、单调区间及极值问题 49

10.函数曲线的凹凸区间、拐点及渐近线问题 53

11.方程实根（函数零点，两曲线交点）问题 55

12.不等式的证明问题 57

13.曲率与曲率半径的计算 59

14.导数在经济中的应用（数学三要求） 60

二、单元检测 61

第三章 一元函数积分学 67

一、常考问题与方法技巧 67

1.关于原函数与不定积分的基本概念性问题 67

2.不定积分的计算问题 69

3.关于不定积分的综合题 70

4.关于定积分概念及性质的问题 71

5.关于变限积分的问题 72

6.利用基本积分公式及积分法计算定积分的问题 77

7.几种重要类型被积函数的积分 79

8.定积分证明问题 82

9.反常积分问题 85

10.求平面图形面积问题 86

11.求旋转体的体积及侧（表）面积问题 88

12.求平面曲线弧长问题 89

13.物理应用问题 89

二、单元检测 90

第四章 向量代数与空间解析几何 97

一、常考问题与方法技巧 97

1.向量及其运算问题 97

2.求平面与直线方程问题 97

3.平面、直线的位置关系问题 99

4.空间曲线、曲面与二次曲面问题 100

二、单元检测 100

第五章 多元函数微分学 103

一、常考问题与方法技巧 103

1.关于多元函数连续性、可导性及可微性问题 103

2.求多元复合函数的偏导数或全微分问题 105

3.求由方程确定的隐函数的偏导数、全微分问题 108

4.求多元函数无条件极值问题 112

5.求多元函数条件极值问题 114

6.求多元函数在闭区域上的最值问题 116

7.求方向导数与梯度问题 117

8.求空间曲面的切平面与法线方程、空间曲线的切线与法平面方程 118

二、单元检测 119

第六章 多元函数积分学 125

一、常考问题与方法技巧 125

1.考查二重积分的性质问题 125

2.交换积分次序问题 125

3.利用基本方法计算二重积分问题 127

4.被积函数为分段函数或隐含分段函数的二重积分问题 131

5.二重积分综合题 134

6.三重积分的计算问题 135

7.重积分的应用问题 138

8.第一类曲线积分计算问题 140

9.第二类曲线积分计算问题 141

10.第一类曲面积分计算问题 146

11.第二类曲面积分计算问题 147

12.曲线积分与曲面积分的应用问题 149

二、单元检测 150

第七章 无穷级数 156

一、常考问题与方法技巧 156

1.判定数项级数收敛性问题 156

2.数项级数的相关证明题 160

3.数项级数求和问题 161

4.求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域问题 163

5.求幂级数的和函数与数项级数求和问题 167

6.求函数的幂级数展开式问题 171

7.考查狄利克雷收敛定理问题 175

8.求函数的傅里叶级数展开式问题 177

二、单元检测 178

第八章 常微分方程 186

一、常考问题与方法技巧 186

1.求解一阶微分方程问题 186

2.一阶常系数线性差分方程问题 192

3.可降阶的高阶微分方程问题 193

4.求解高阶常系数线性微分方程问题 194

二、单元检测 199

第二部分 线性代数 207

第一章 行列式 207

一、常考问题与方法技巧 207

1.关于余子式、代数余子式问题 207

2.数值型行列式的计算问题 208

3.抽象型行列式的计算问题 211

4.克拉默法则应用问题 212

二、单元检测 212

第二章 矩阵 216

一、常考问题与方法技巧 216

1.有关矩阵基本运算的问题 216

2.求数值型矩阵的逆矩阵问题 219

3.求抽象型矩阵的逆矩阵问题 222

4.讨论（证明）矩阵可逆性问题 223

5.解矩阵方程问题 225

6.有关初等变换和初等矩阵问题 227

7.有关矩阵秩的问题 228

二、单元检测 229

第三章 向量 233

一、常考问题与方法技巧 233

1.判别数值型向量组的线性相关性问题 233

2.判别抽象型向量组的线性相关性问题 234

3.考查数值型向量（组）的线性表示及等价性问题 237

4.考查抽象型向量（组）的线性表示问题 240

5.向量组的极大线性无关组与秩的问题 241

6.考查向量空间的基、过渡矩阵以及坐标等问题 243

二、单元检测 245

第四章 线性方程组 252

一、常考问题与方法技巧 252

1.考查线性方程组解的判定、性质与结构问题 252

2.有关基础解系的论证问题 254

3.数值型线性方程组求解问题 256

4.抽象型线性方程组求解问题 259

5.求两个线性方程组的公共解的问题 262

6.讨论两个线性方程组解的关系问题 263

二、单元检测 265

第五章 矩阵的特征值和特征向量 273

一、常考问题与方法技巧 273

1.求数值型矩阵的特征值、特征向量问题 273

2.求抽象型矩阵的特征值、特征向量问题 275

3.特征值、特征向量的逆问题 276

4.矩阵相似对角化问题 279

5.矩阵相似的判定问题 280

6.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化问题 282

7.特征值和特征向量的应用问题 284

二、单元检测 286

第六章 二次型 293

一、常考问题与方法技巧 293

1.考查二次型的秩及正、负惯性指数等基本概念性问题 293

2.化二次型为标准形问题 294

3.考查二次型或对称矩阵的正定性问题 297

二、单元检测 298

第三部分 概率论与数理统计 304

第一章 随机事件与概率 304

一、常考问题与方法技巧 304

1.考查随机事件的关系与运算及其逆问题 304

2.利用四种概型求概率问题 308

3.利用概率的公式、性质求概率问题 314

二、单元检测 317

第二章 随机变量及其概率分布 320

一、常考问题与方法技巧 320

1.考查随机变量的概率分布（分布律、概率密度、分布函数）的概念性问题及确定其中未知的参数 320

2.求随机变量的概率分布问题 321

3.利用已知概率分布求概率问题 322

二、单元检测 328

第三章 多维随机变量及其分布 333

一、常考问题与方法技巧 333

1.求二维随机变量的概率分布（联合分布、边缘分布、条件分布）及其中未知参数问题 333

2.利用已知二维概率分布求概率问题 343

3.求二维随机变量函数的分布问题 346

二、单元检测 354

第四章 随机变量的数字特征 359

一、常考问题与方法技巧 359

1.求随机变量的数学期望与方差问题 359

2.求随机变量函数的数学期望与方差问题 363

3.求协方差、相关系数及讨论随机变量相关性问题 368

4.随机变量的不相关与独立 371

5.数字特征的应用 376

二、单元检测 378

第五章 大数定律与中心极限定理 381

常考问题与方法技巧 381

1.利用切比雪夫不等式估算概率问题 381

2.考查大数定律的问题 382

3.考查中心极限定理的问题 384

第六章 数理统计 385

一、常考问题与方法技巧 385

1.求统计量的分布问题 385

2.求统计量的数字特征问题 388

3.求参数的点估计问题（矩法估计和最大似然估计） 389

4.估计量的评选标准 393

5.区间估计（均值、方差的置信区间） 397

6.假设检验 398

二、单元检测 400