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第一篇 线性空间及线性算子 1

第一章 R3空间的向量分析 1

1.1 向量的概念 1

1.2 R3空间的向量代数 3

1.3 R3空间的向量分析 8

1.4 R3空间中向量分析的一些重要公式 13

第一章 习题 15

第二章 R3空间曲线坐标系中的向量分析 18

2.1 R3空间中的曲线坐标系 18

2.2 曲线坐标系中的度量 20

2.3 曲线坐标系中标量场梯度的表达式 24

2.4 曲线坐标系中向量场散度的表达式 25

2.5 曲线坐标系中向量场旋度的表达式 27

2.6 曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式 29

第二章 习题 31

第三章 线性空间 33

3.1 线性空间的定义 33

3.2 线性空间的内积 34

3.3 Hilbert（希尔伯特）空间 37

3.4 线性算符 39

3.5 线性算符的本征值和本征向量 44

第三章 习题 46

第二篇 复变函数 47

第四章 复变函数的概念 47

4.1 映射 47

4.2 复数 48

4.3 复变函数 52

第四章 习题 56

第五章 解析函数 58

5.1 复变函数的导数 58

5.2 复变函数的解析性 60

5.3 复势 62

5.4 解析函数变换 64

第五章 习题 68

第六章 复变函数积分 69

6.1 复变函数的积分 69

6.2 Cauchy（柯西）积分定理 70

6.3 Cauchy（柯西）积分公式 72

6.4 解析函数高阶导数的积分表达式 73

第六章 习题 74

第七章 复变函数的级数展开 76

7.1 复变函数项级数 76

7.2 解析函数的Taylor（泰勒）展开 77

7.3 Taylor展开的理论应用 80

7.4 解析函数的Laurent（洛朗）展开 82

第七章 习题 86

第八章 留数定理及其在实积分中的应用 88

8.1 留数定理 88

8.2 留数的一般求法 91

8.3 解析函数在无穷远点的留数 93

8.4 留数定理在实积分中的应用 95

8.5 Hilbert（希尔伯特）变换 107

第八章 习题 109

第三篇 积分变换与δ函数 112

第九章 Fourier（傅里叶）变换 112

9.1 Fourier级数 112

9.2 Fourier变换 114

9.3 Fourier变换的基本性质 117

第九章 习题 121

第十章 Laplace（拉普拉斯）变换 122

10.1 Laplace（拉普拉斯）变换 122

10.2 Laplace变换的基本性质 127

10.3 Laplace变换的反演 130

10.4 Laplace变换的应用 132

第十章 习题 135

第十一章 δ函数 137

11.1 δ函数的定义 137

11.2 δ函数的性质 139

11.3 δ函数的导数 142

11.4 三维δ函数 143

11.5 δ函数的Fourier变换及Fourier级数展开 144

第十一章 习题 147

第十二章 小波变换初步 149

12.1 Gabor（伽博）变换 150

12.2 小波变换 153

12.3 小波变换中的Heisenberg（海森堡）不确定性关系 155

第四篇 数学物理方程 159

第十三章 波动方程、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题 159

13.1 二阶线性偏微分方程的普遍形式 159

13.2 波动方程及其定解条件 161

13.3 输运方程及其定解条件 166

13.4 Poisson方程及其定解条件 171

13.5 Laplace方程和调和函数 173

13.6 三类方程定解问题小结 175

第十三章 习题 178

第十四章 分离变量法 180

14.1 齐次方程齐次边界条件下的分离变量法 181

14.2 Sturm-Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题 185

14.3 非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法 195

14.4 非齐次边界条件下的分离变量法 199

14.5 分离变量法小结 201

第十四章 习题 202

第十五章 曲线坐标系下方程的分离变量 204

15.1 球坐标系下方程的分离变量 204

15.2 柱坐标系下方程的分离变量 208

15.3 二阶线性常微分方程的级数解法 210

第十五章 习题 216

第十六章 球函数 219

16.1 Legendre（勒让德）多项式 219

16.2 Legendre多项式的主要性质 226

16.3 具有轴对称的Laplace方程的求解 230

16.4 连带Legendre函数 239

16.5 球函数 244

附录：球函数的加法公式 248

第十六章 习题 252

第十七章 柱函数 255

17.1 Bessel（贝塞尔）函数 255

17.2 Bessel函数的递推关系 260

17.3 柱函数的定义 262

17.4 整数阶Bessel函数Jm（x）的生成函数 263

17.5 Bessel方程的本征值问题 265

17.6 虚宗量Bessel函数 277

17.7 Hankel（汉克尔）函数 284

17.8 球Bessel函数 285

第十七章 习题 292

第十八章 Green（格林）函数法 295

18.1 微分算子的基本解和Green函数的定义 295

18.2 Laplace算子的基本解 299

18.3 Laplace算子的Green函数 302

18.4 Laplace算子的镜像Green函数法 306

18.5 Helmholtz算子的基本解 310

18.6 输运算子的Green函数 313

18.7 波动算子的基本解 319

第十八章 习题 322

第十九章 其他求解方法及方程 323

19.1 积分变换法 323

19.2 行波法 329

19.3 冲量定理法 335

19.4 Schr？dinger（薛定谔）方程、谐振子势 336

附录：Hermite多项式的性质 340

第十九章 习题 342

第二十章 非线性数学物理方程初步 344

20.1 Huygens（惠更斯）等时摆问题 345

20.2 KdV方程和孤立波 349

20.3 一类非线性方程的齐次平衡解法 352

第五篇 变分法初步 361

第二十一章 泛函的变分 361

21.1 泛函的概念 361

21.2 泛函的变分 362

第二十二章 变分原理 366

22.1 泛函的极值 366

22.2 变分原理、Euler-Lagrange（欧拉-拉格朗日）方程 367

22.3 Hamilton（哈密顿）原理 371

22.4 Hamilton泛函和正则方程 374

22.5 带约束条件的泛函变分 376

22.6 Noether（诺德）定理 381

第二十一、二十二章 习题 388

附录：分离变量法 389

主要参考文献 394