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第一篇 高等数学 1

第一章 函数、极限、连续与求极限的方法 1

内容概要与重难点提示 1

考核知识要点讲解 1

一、函数 1

二、极限的概念与性质 4

三、极限的存在与不存在问题 5

四、无穷小及其阶 6

五、函数的连续性及其判断 8

六、求极限的方法 10

常考题型及其解题方法与技巧 16

题型训练及参考答案 29

第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算 31

内容概要与重难点提示 31

考核知识要点讲解 31

一、一元函数的导数与微分 31

二、按定义求导及其适用的情形 35

三、基本初等函数导数表与导数四则运算法则 36

四、复合函数的微分法则 37

五、由复合函数求导法则导出的微分法则 37

六、分段函数求导法 40

七、高阶导数及n阶导数的求法 42

八、一元函数微分学的简单应用 43

常考题型及其解题方法与技巧 45

题型训练及参考答案 56

第三章 一元函数积分概念、计算及应用 58

内容概要与重难点提示 58

考核知识要点讲解 58

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 58

二、积分法则 64

三、类函数的积分法 71

四、广义积分 75

五、积分学应用的基本方法——微元分析法 76

六、一元函数积分学的几何应用 77

七、一元函数积分学的物理应用 83

常考题型及其解题方法与技巧 85

题型训练及参考答案 110

第四章 微分中值定理及其应用 112

内容概要与重难点提示 112

考核知识要点讲解 112

一、连续函数的性质 112

二、微分中值定理及其应用 114

三、利用导数研究函数的变化 115

四、一元函数的最大值与最小值问题 120

五、微分中值定理的其他应用 122

常考题型及其解题方法与技巧 122

题型训练及参考答案 146

第五章 一元函数的泰勒公式及其应用 148

内容概要与重难点提示 148

考核知识要点讲解 148

一、带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式 148

二、泰勒公式的求法 149

三、一元函数泰勒公式的若干应用 150

常考题型及其解题方法与技巧 153

题型训练及参考答案 157

第六章 微分方程 159

内容概要与重难点提示 159

考核知识要点讲解 159

一、基本概念 159

二、一阶微分方程 160

三、可降阶的高阶方程 162

四、线性微分方程解的性质与结构 163

五、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程 164

六、二阶常系数非齐次线性方程 165

七、含变限积分的方程 167

八、应用问题 168

常考题型及其解题方法与技巧 168

题型训练及参考答案 179

第七章 向量代数和空间解析几何 181

内容概要与重难点提示 181

考核知识要点讲解 181

一、空间直角坐标系 181

二、向量的概念 181

三、向量的运算 182

四、平面方程、直线方程 185

五、平面、直线之间相互关系 187

六、常用二次曲面的方程及其图形 188

七、空间曲线在坐标平面上的投影 189

常考题型及其解题方法与技巧 190

题型训练及参考答案 197

第八章 多元函数微分学 198

内容概要与重难点提示 198

考核知识要点讲解 198

一、多元函数的概念、极限与连续性 198

二、多元函数的偏导数与全微分 200

三、多元函数微分法则 204

四、复合函数求导法的应用——隐函数微分法 206

五、复合函数求导法则的其他应用 208

六、多元函数极值充分判别法 209

七、多元函数的最大值与最小值问题 210

八、方向导数与梯度（只对数一） 213

九、多元函数微分学的几何应用（只对数一） 214

常考题型及其解题方法与技巧 216

题型训练及参考答案 226

第九章 二重积分 229

内容概要与重难点提示 229

考核知识要点讲解 229

一、二重积分的概念与性质 229

二、在直角坐标系中化二重积分为累次积分 231

三、二重积分的变量替换 232

四、如何应用计算公式计算或简化二重积分 234

常考题型及其解题方法与技巧 237

题型训练及参考答案 244

第十章 多元函数积分的概念、计算及其应用 246

内容概要与重难点提示 246

考核知识要点讲解 246

一、多元函数积分的概念与性质 246

二、在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分 249

三、重积分的变量替换 255

四、如何应用多元函数积分的计算公式及简化计算 257

五、多元函数积分学的几何应用 263

六、多元函数积分学的物理应用 265

常考题型及其解题方法与技巧 268

题型训练及参考答案 289

第十一章 多元函数积分学中的基本公式及其应用 291

内容概要与重难点提示 291

考核知识要点讲解 291

一、多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式 291

？的通量与散度，环流量与旋度 293

三、格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算 294

四、平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题 298

常考题型及其解题方法与技巧 303

题型训练及参考答案 313

第十二章 无穷级数 314

内容概要与重难点提示 314

考核知识要点讲解 314

一、常数项级数的概念与基本性质 314

二、正项级数敛散性的判定 315

三、交错级数的敛散性判别法 317

四、绝对收敛与条件收敛 317

五、函数项级数的收敛域与和函数 318

六、幂级数的收敛域 319

七、幂级数的运算与和函数的性质 320

八、幂级数的求和与函数的幂级数展开 321

九、傅里叶级数 323

常考题型及其解题方法与技巧 325

题型训练及参考答案 342

第二篇 线性代数 345

第一章 行列式 345

内容概要与重难点提示 345

考核知识要点讲解 345

一、行列式的概念、展开公式及其性质 345

二、有关行列式的几个重要公式 349

常考题型及其解题方法与技巧 350

题型训练及参考答案 361

第二章 矩阵及其运算 364

内容概要与重难点提示 364

考核知识要点讲解 364

一、矩阵的概念及几类特殊方阵 364

二、矩阵的运算 366

三、矩阵可逆的充分必要条件 367

四、初等变换 367

五、初等矩阵 367

六、矩阵的等价 368

七、矩阵方程 368

常考题型及其解题方法与技巧 369

题型训练及参考答案 384

第三章 n维向量与向量空间 387

内容概要与重难点提示 387

考核知识要点讲解 387

一、n维向量的概念与运算 387

二、线性组合与线性表出 388

三、线性相关与线性无关 389

四、线性相关性与线性表出的关系 390

五、向量组的秩与矩阵的秩的关系 390

六、矩阵秩的重要公式 391

七、向量空间、子空与基、维数、坐标 392

八、基变换与坐标变换 392

九、规范正交基与Schmidt正交化 393

常考题型及其解题方法与技巧 393

题型训练及参考答案 412

第四章 线性方程组 416

内容概要与重难点提示 416

考核知识要点讲解 416

一、线性方程组的各种表达形式 416

二、基础解系的概念及其求法 416

三、齐次方程组有非零解的判定 417

四、非齐次线性方程组有解的判定 417

五、非齐次线性方程组解的结构 417

六、克莱姆（Cramer）法则 418

常考题型及其解题方法与技巧 418

题型训练及参考答案 429

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量 433

内容概要与重难点提示 433

考核知识要点讲解 433

一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法 433

二、相似矩阵的概念与性质 435

三、矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤 435

常考题型及其解题方法与技巧 437

题型训练及参考答案 455

第六章 二次型 458

内容概要与重难点提示 458

考核知识要点讲解 458

一、二次型的概念及其标准形 458

二、合同矩阵及正定矩阵 460

常考题型及其解题方法与技巧 461

题型训练及参考答案 472

第三篇 概率论与数理统计 474

第一章 随机事件与概率 474

内容概要与重难点提示 474

考核知识要点讲解 474

一、随机事件的关系与运算 474

二、随机事件的概率 476

三、条件概率与全概率公式 478

四、事件的独立性与伯努利公式 479

常考题型及其解题方法与技巧 481

题型训练及参考答案 490

第二章 随机变量的分布及其概率 493

内容概要与重难点提示 493

考核知识要点讲解 493

一、随机变量与分布函数 493

二、离散型随机变量与连续型随机变量 494

三、几个常见分布 495

四、随机变量函数的分布的求法 499

常考题型及其解题方法与技巧 499

题型训练及参考答案 510

第三章 二维随机变量的概率分布 513

内容概要与重难点提示 513

考核知识要点讲解 513

一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 513

二、二维离散型随机变量 514

三、二维连续型随机变量 515

四、两个常见的二维连续型随机变量的分布 517

五、二维随机变量的独立性 518

六、二维随机变量函数的分布的求法 519

常考题型及其解题方法与技巧 520

题型训练及参考答案 533

第四章 随机变量的数字特征 536

内容概要与重难点提示 536

考核知识要点讲解 536

一、一维随机变量的数字特征 536

二、二维随机变量的数字特征 537

常考题型及其解题方法与技巧 539

题型训练及参考答案 552

第五章 大数定律和中心极限定理 554

内容概要与重难点提示 554

考核知识要点讲解 554

一、大数定律 554

二、中心极限定理 556

常考题型及其解题方法与技巧 556

题型训练及参考答案 563

第六章 数理统计的基本概念 565

内容概要与重难点提示 565

考核知识要点讲解 565

一、总体、样本、样本的数字特征 565

二、统计量及抽样分布 566

常考题型及其解题方法与技巧 569

题型训练及参考答案 572

第七章 参数估计和假设检验 574

内容概要与重难点提示 574

考核知识要点讲解 574

一、统计估计 574

二、假设检验 577

常考题型及其解题方法与技巧 579

题型训练及参考答案 587