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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合之间的运算 2

1.1.3 区间和邻域 2

习题1.1 3

1.2 函数及其特性 3

1.2.1 映射 3

1.2.2 函数 4

1.2.3 函数的基本性质 7

习题1.2 9

1.3 反函数与复合函数 9

1.3.1 反函数 9

1.3.2 复合函数 10

习题1.3 11

1.4 初等函数 11

1.4.1 基本初等函数 11

1.4.2 初等函数 15

1.4.3 双曲函数和反双曲函数 15

习题1.4 16

1.5 数列极限 16

1.5.1 数列的基本概念 17

1.5.2 数列的极限 18

1.5.3 收敛数列的性质 20

习题1.5 21

1.6 函数的极限 22

1.6.1 当x→∞时函数f(x)的极限 22

1.6.2 当x→x0时函数f(x)的极限 23

1.6.3 函数极限的性质 25

习题1.6 25

1.7 两种特殊的量——无穷小量与无穷大量 26

1.7.1 无穷小量 26

1.7.2 无穷大量 26

1.7.3 无穷小量与无穷大量的关系 27

习题1.7 28

1.8 极限的运算法则 28

1.8.1 无穷小的运算法则 28

1.8.2 函数极限的四则运算法则 29

1.8.3 复合函数的极限运算法则 31

习题1.8 32

1.9 极限存在准则与两个重要极限 32

1.9.1 极限的夹逼准则及应用 32

1.9.2 单调有界准则及应用 34

习题1.9 37

1.10 无穷小的比较 38

1.10.1 无穷小比较的定义 38

1.10.2 无穷小的等价代换——简称等价代换 39

习题1.10 41

1.11 函数的连续与间断 41

1.11.1 函数在一点连续的概念 41

1.11.2 函数在区间上连续的概念 42

1.11.3 连续函数的运算性质及初等函数的连续性 43

1.11.4 函数的间断点及其分类 44

习题1.11 46

1.12 闭区间上连续函数的性质 46

1.12.1 最大值、最小值定理 46

1.12.2 有界性定理 47

1.12.3 介值定理 47

1.12.4 一致连续性 48

习题1.12 49

本章小结 49

一、内容概要 49

二、解题指导 49

复习题1 50

第2章 导数与微分 52

2.1 函数的瞬时变化率——导数的概念 52

2.1.1 概念引入 52

2.1.2 导数的定义 54

2.1.3 函数的可导性与连续性的关系 56

2.1.4 几个基本初等函数的导数公式的推导 57

习题2.1 58

2.2 导数的运算法则 59

2.2.1 导数的四则运算法则 59

2.2.2 反函数和复合函数的求导法则 61

2.2.3 导数基本公式表 65

习题2.2 66

2.3 高阶导数 67

2.3.1 高阶导数的概念 67

2.3.2 高阶导数的求导运算法则 69

习题2.3 70

2.4 隐函数以及由参数方程确定的函数的求导法 70

2.4.1 隐函数求导法 70

2.4.2 由参数方程确定的函数的求导法 74

2.4.3 相关变化率 77

习题2.4 78

2.5 函数的微分及其应用 79

2.5.1 微分的定义 79

2.5.2 可微与可导的关系 80

2.5.3 微分的几何意义 80

2.5.4 微分基本公式和运算法则 81

2.5.5 复合函数的微分—微分的形式不变性 81

2.5.6 微分在近似计算中的应用 82

习题2.5 83

本章小结 84

一、内容概要 84

二、解题指导 84

三、数学史与人物介绍 84

复习题2 86

第3章 微分中值定理与导数的应用 88

3.1 微分中值定理 88

3.1.1 罗尔中值定理 88

3.1.2 拉格朗日中值定理 91

3.1.3 柯西中值定理 94

习题3.1 96

3.2 洛必达法则 97

3.2.1 0/0型未定式的洛必达法则 97

3.2.2 ∞/∞型未定式的洛必达法则 99

3.2.3 其他类型的未定式 100

3.2.4 注意事项举例 101

习题3.2 102

3.3 泰勒公式 103

3.3.1 问题的提出 103

3.3.2 系数的选取 103

3.3.3 误差的确定 104

3.3.4 泰勒中值定理 105

习题3.3 109

3.4 函数性态的研究 109

3.4.1 函数的单调性 109

3.4.2 函数的极值 111

3.4.3 函数的最大（小）值 113

3.4.4 曲线的凹凸性及拐点 115

习题3.4 119

3.5 函数图形的描绘 121

3.5.1 曲线的渐近线 121

3.5.2 函数图形的描绘 121

习题3.5 123

3.6 平面曲线的曲率 124

3.6.1 弧微分 124

3.6.2 曲率及其计算公式 124

3.6.3 曲率圆与曲率半径 127

习题3.6 128

3.7 方程的近似解 129

3.7.1 二分法 129

3.7.2 牛顿迭代法 130

习题3.7 133

本章小结 133

一、内容概要 133

二、解题指导 134

三、人物介绍 134

复习题3 137

第4章 不定积分 140

4.1 不定积分的概念 140

4.1.1 原函数与不定积分的概念 140

4.1.2 基本积分表 143

4.1.3 不定积分的性质 144

习题4.1 146

4.2 换元积分法 147

4.2.1 第一类换元法 147

4.2.2 第二类换元法 153

习题4.2 157

4.3 分部积分法 159

习题4.3 162

4.4 有理函数积分法 163

4.4.1 有理函数的积分 163

4.4.2 可化为有理函数的积分 165

习题4.4 167

本章小结 168

一、内容概要 168

二、解题指导 168

复习题4 169

第5章 定积分 171

5.1 定积分的概念与性质 171

5.1.1 中学基础知识回顾 171

5.1.2 定积分的定义 174

5.1.3 定积分的基本性质 177

习题5.1 182

5.2 微积分基本定理 183

5.2.1 积分上限的函数 184

5.2.2 微积分基本定理 185

习题5.2 189

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 192

5.3.1 定积分的换元积分法 192

5.3.2 定积分的分部积分法 195

5.3.3 定积分第二中值定理 197

习题5.3 198

5.4 反常积分 200

5.4.1 无限区间上的反常积分 200

5.4.2 无界函数的反常积分 202

5.4.3 反常积分的柯西主值 204

习题5.4 204

5.5 反常积分的收敛判别法 205

5.5.1 无限区间上反常积分的敛散性判别法 205

5.5.2 无界函数的反常积分的敛散性判别法 210

习题5.5 211

本章小结 212

一、内容概要 212

二、解题指导 212

三、历史人物介绍 213

复习题5 214

第6章 定积分的应用 217

6.1 定积分的微元法 217

6.2 定积分的几何应用 218

6.2.1 平面图形的面积 218

6.2.2 体积 222

6.2.3 平面曲线的弧长 226

6.2.4 旋转曲面的面积 228

习题6.2 229

6.3 定积分的物理应用 230

6.3.1 变力沿直线做功 230

6.3.2 液体的压力 233

6.3.3 引力 234

6.3.4 质量 235

习题6.3 235

6.4 定积分的经济应用 236

6.4.1 总产量 236

6.4.2 最大利润 236

6.4.3 消费过剩 237

习题6.4 237

本章小结 238

一、内容概要 238

二、解题指导 238

复习题6 238

第7章 常微分方程 240

7.1 微分方程的基本概念 240

习题7.1 243

7.2 可分离变量的一阶方程与齐次方程 244

7.2.1 可分离变量的方程 244

7.2.2 齐次方程 247

7.2.3 可化为齐次的方程 250

习题7.2 251

7.3 一阶线性微分方程 252

7.3.1 一阶线性方程 252

7.3.2 伯努利方程 256

习题7.3 257

7.4 可降阶的高阶微分方程 258

7.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程 259

7.4.2 y″=f(x,y′)型的微分方程 259

7.4.3 y″=f(y,y′)型的微分方程 260

习题7.4 264

7.5 高阶线性微分方程 264

7.5.1 二阶线性微分方程举例 264

7.5.2 线性微分方程的解的结构 266

7.5.3 常数变易法 268

习题7.5 271

7.6 常系数线性齐次微分方程 271

习题7.6 277

7.7 常系数线性非齐次微分方程 277

7.7.1 f(x)=eλxxPm(x)型 278

7.7.2 f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 280

习题7.7 282

7.8 欧拉方程 282

习题7.8 284

本章小结 284

一、内容概要 285

二、解题指导 285

三、数学史与人物介绍 286

复习题7 287

第8章 MATLAB软件与一元函数微积分 290

8.1 MATLAB工作环境与编程 290

8.1.1 MATLAB的安装与启动 290

8.1.2 MATLAB工作环境 290

8.1.3 MATLAB的帮助功能 291

8.1.4 对输入指令的编辑及部分通用指令 292

8.1.5 MATLAB的基本设计 293

8.2 一元函数微分学实验 293

8.2.1 曲线绘图 293

8.2.2 MATLAB求函数极限 297

8.2.3 MATLAB求导数 297

8.2.4 MATLAB求极值和最值 298

8.2.5 MATLAB求方程的根 300

8.2.6 常微分方程符号求解 301

8.3 一元函数积分学实验 302

8.3.1 MATLAB求不定积分 303

8.3.2 MATLAB求数值积分 303

本章小结 307

复习题8 308

附录Ⅰ 二阶和三阶行列式简介 309

附录Ⅱ 几种常用的曲线 313

附录Ⅲ 积分表 315

附录Ⅳ 部分常用数学公式 325

习题答案与提示 328