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第一章 函数 极限与连续 1

1.1 预备知识 1

1.1.1 初等函数 1

1.1.2 极限的运算法则 4

1.2 无穷小与无穷大 两个重要极限 6

1.2.1 无穷小与无穷大 6

1.2.2 两个重要极限 8

1.3 函数的连续性 11

1.3.1 函数连续性的概念 11

1.3.2 闭区间上连续函数的性质 13

本章小结 15

习题一 16

第二章 导数与微分 18

2.1 导数的概念 18

2.1.1 变化率问题举例 18

2.1.2 导数的定义 19

2.1.3 利用定义求函数的导数 20

2.1.4 导数的几何意义 21

2.1.5 可导与连续的关系 22

2.2 求导法则与求导公式 23

2.2.1 导数的四则运算法则 23

2.2.2 复合函数的求导法则 24

2.2.3 隐函数的求导法则 25

2.2.4 高阶导数 26

2.3 函数的微分 28

2.3.1 微分的定义 28

2.3.2 微分的几何意义 30

2.3.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 30

2.3.4 微分在近似计算上的应用 32

本章小结 35

习题二 37

第三章 导数的应用 40

3.1 拉格朗日中值定理 40

3.2 洛必达法则 42

3.3 函数单调性与极值 44

3.3.1 函数单调性的判定法 44

3.3.2 函数的极值及其求法 46

3.3.3 函数的最大值和最小值 48

3.4 曲线的凹凸性与拐点 50

3.5 曲率 53

3.5.1 曲率的概念 53

3.5.2 曲率的求法 54

3.5.3 曲率圆和曲率半径 55

本章小结 58

习题三 59

第四章 不定积分和定积分 62

4.1 原函数与不定积分 62

4.1.1 原函数 62

4.1.2 不定积分概念 63

4.1.3 不定积分的性质和意义 63

4.1.4 基本积分公式和直接积分法 64

4.2 定积分的概念 66

4.2.1 两个实例 66

4.2.2 定积分的概念 68

4.2.3 定积分的性质 69

4.2.4 定积分的几何意义 70

4.3 微积分基本公式 72

4.3.1 积分上限函数及其导数 72

4.3.2 牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式 72

4.4 基本积分法 74

4.4.1 不定积分第一类换元积分法（凑微分法） 74

4.4.2 不定积分第二类换元积分法 76

4.4.3 定积分的换元积分法 77

4.4.4 分部积分法 79

4.5 广义积分 82

4.5.1 无穷区间上的广义积分的定义 82

4.5.2 无穷区间上的广义积分的计算 82

本章小结 84

习题四 87

第五章 定积分的应用 90

5.1 微元法及定积分在几何上的应用 90

5.1.1 定积分的微元法 90

5.1.2 定积分在几何上的应用 91

5.2 定积分在物理上的应用 95

5.2.1 变力沿直线所作的功 95

5.2.2 液体的压力 96

5.2.3 函数的平均值 97

本章小结 99

习题五 100

第六章 常微分方程 101

6.1 微分方程的概念 101

6.2 一阶微分方程 102

6.2.1 可分离变量的微分方程 103

6.2.2 一阶线性微分方程 104

6.3 二阶常系数线性微分方程 107

6.3.1 二阶常系数线性微分方程解的结构 108

6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 108

6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 110

本章小结 114

习题六 115

第七章 多元函数微分 117

7.1 空间直角坐标系 117

7.1.1 空间直角坐标系 117

7.1.2 空间两点间的距离公式 118

7.2 空间图形与方程 119

7.2.1 曲面方程的概念 119

7.2.2 常见空间曲面及其方程 119

7.3 多元函数 121

7.3.1 平面区域 121

7.3.2 多元函数 121

7.3.3 二元函数的极限 123

7.3.4 二元函数的连续性 124

7.4 偏导数 125

7.4.1 二元函数偏导数的概念 126

7.4.2 求偏导数举例 126

7.4.3 复合函数的求导法则 128

7.4.4 高阶偏导数 129

7.5 全微分 130

7.5.1 全微分的定义 131

7.5.2 全微分计算 132

7.5.3 全微分在近似计算中的应用 132

7.6 多元函数的极值 133

7.6.1 二元函数极值的概念 133

7.6.2 多元函数的最大值与最小值 134

7.6.3 条件极值 135

本章小结 137

习题七 139

第八章 多元函数积分 141

8.1 二重积分的概念与性质 141

8.1.1 二重积分的概念 141

8.1.2 二重积分的性质 143

8.2 二重积分的计算及应用 145

8.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 145

8.2.2 二重积分的应用 148

本章小结 153

习题八 154

第九章 无穷级数 156

9.1 常数项级数 156

9.1.1 常数项级数的概念 156

9.1.2 级数的简单性质 157

9.1.3 级数收敛的审敛法 158

9.2 幂级数 162

9.2.1 幂级数的概念及其收敛半径 162

9.2.2 幂级数的运算性质 164

9.3 函数展开成幂级数 165

9.4 傅立叶级数 167

9.4.1 三角级数 167

9.4.2 周期为2π的函数展开为傅立叶级数 168

9.5 周期为2L的函数展开成傅立叶级数 171

9.5.1 周期为2L的函数展开成傅立叶级数 171

9.5.2 将函数展开成正弦级数或余弦级数 173

9.6 傅立叶级数的复数形式 174

本章小结 177

习题九 179

第十章 拉普拉斯变换 180

10.1 拉普拉斯变换的概念 180

10.1.1 拉普拉斯变换的定义 180

10.1.2 常见函数拉普拉斯变换 182

10.2 拉普拉斯变换的性质 183

10.2.1 线性性质 183

10.2.2 微分性质 183

10.2.3 积分性质 184

10.2.4 卷积定理 184

10.2.5 其他性质 185

10.3 拉普拉斯逆变换 187

10.3.1 拉普拉斯逆变换的定义 187

10.3.2 拉普拉斯逆变换的性质 187

10.4 用拉普拉斯变换解常微分方程 189

本章小结 192

习题十 192

第十一章 线性代数 194

11.1 n阶行列式的定义 194

11.2 行列式的性质 198

11.3 克莱姆法则 202

11.4 矩阵的概念及其运算 204

11.4.1 矩阵的概念 204

11.4.2 矩阵的加、减法和数与矩阵的乘法 206

11.4.3 矩阵的乘法 208

11.4.4 矩阵的转置 211

11.5 逆矩阵 213

11.5.1 逆矩阵的概念 213

11.5.2 逆矩阵的求法 214

11.5.3 逆矩阵的性质 215

11.6 矩阵的初等变换与矩阵的秩 216

11.6.1 矩阵的初等变换 216

11.6.2 用初等变换求逆矩阵举例 217

11.6.3 矩阵的秩 218

11.7 线性方程组的消元解法 220

本章小结 225

习题十一 225

第十二章 数学软件的应用 228

12.1 MATLAB软件简介 228

12.1.1 MATLAB的启动和初始界面概述 228

12.1.2 MATLAB命令窗口的使用 229

12.1.3 MATLAB的算术运算符与操作符 230

12.1.4 MATLAB的数值量和数据显示格式 232

12.1.5 MATLAB的符号运算工具箱 233

12.2 一元函数微积分运算与二维图形的描绘 233

12.2.1 用MATLAB求函数的极限 233

12.2.2 用MATLAB求函数的导数 234

12.2.3 用MATLAB求函数的积分 236

12.2.4 用MATLAB描绘二维图形 237

12.3 多元函数微积分运算与三维图形的描绘 240

12.3.1 用MATLAB求偏导数 240

12.3.2 用MATLAB求重积分 241

12.3.3 用MATLAB绘制三维图形 241

参考答案 245

参考文献 263