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第一篇 微积分 1

第一章 函数与极限 1

§1．1 函数的概念 1

一、集合 区间与邻域 1

二、函数的概念 2

三、函数的几种特性 3

§1．2 初等函数 4

一、反函数 4

三、初等函数 5

二、复合函数 5

四、双曲函数与反双曲函数 6

§1．3 极限 8

一、数列的极限 8

二、函数的极限 11

§1．4 无穷小量与无穷大量 14

一、无穷小量 14

二、无穷小量的运算定理 15

三、无穷大量 15

四、无穷小量的比较 16

一、函数和、差、积、商的极限 17

§1．5 函数极限的运算法则 17

二、求极限的一些方法 19

§1．6 极限存在准则 两个重要极限 20

§1．7 函数的连续性与间断点 23

一、函数的连续性 23

二、函数的间断点 24

§1．8 连续函数的运算与初等函数的连续性 26

一、连续函数的运算法则 26

二、初等函数的连续性 26

§1．9 闭区间上连续函数的性质 27

第一章 习题 28

第二章 导数与微分 32

§2．1 导数概念 32

一、两个具体问题 32

二、导数的定义 33

三、基本初等函数的导数 34

四、进一步讨论 35

§2．2 函数和、差、积、商的求导法则 36

§2．3 反函数与复合函数的导数 38

一、反函数的导数 38

二、复合函数的求导法则 39

三、双曲函数与反双曲函数的导数 40

四、求导公式小结 41

§2．4 高阶导数 41

§2．5 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 43

一、隐函数的导数 43

二、由参数方程所确定的函数的导数 44

三、求导举例 46

一、微分的概念 47

§2．6 函数的微分 47

二、微分的计算 49

§2．7 导数与微分的应用 50

第二章 习题 52

第三章 中值定理与导数的应用 55

§3．1 微分学中值定理 55

一、罗尔(Rolle)定理 55

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 56

三、柯西(Cauchy)中值定理 57

四、应用举例 58

一、O／O型未定式 59

§3．2 罗必塔(L Hospital)法则 59

二、∞／∞型未定式 60

三、其它类型的未定式 61

§3．3 泰勒(Taylor)公式 62

§3．4 函数的单调性与极值 64

一、函数单调性的判定 64

二、函数的极值 66

三、函数的最大值和最小值 68

§3．5 曲线的凹凸性与拐点 69

§3．6 函数作图 71

一、渐近线 72

二、依据函数特性作图 73

§3．7 曲率及其应用 75

一、弧微分 75

二、曲率 75

三、曲率的计算 76

四、应用举例 77

第二章 习题 78

第四章 不定积分 81

§4．1 不定积分的概念与性质 81

一、原函数与不定积分的概念 81

三、基本积分公式 82

二、不定积分的性质 82

§4．2 换元积分法 83

一、第一类换元积分法 83

二、第二类换元积分法 86

§4．3 分部积分法 89

§4．4 几种特殊函数的积分 91

一、有理函数的积分举例 91

二、三角函数有理式的积分 94

三、简单无理函数的积分 94

§4．5 积分表的使用 95

第四章 习题 96

第五章 定积分及其应用 98

§5．1 定积分的概念与性质 98

一、定积分问题举例 98

二、定积分的定义 99

三、定积分的基本性质 100

§5．2 微积分基本公式 102

一、积分上限的函数 102

二、牛顿-莱布尼兹公式 103

§5．3 定积分的换元积分法 104

§5．4 定积分的分部积分法 105

§5．5 定积分的近似计算 106

一、梯形法 107

二、抛物线法 107

§5．6 广义积分与伽玛(Gamma)函数 109

一、无穷限的广义积分 109

二、无界函数的广义积分 110

三、伽玛(Gamma)函数 111

二、平面图形的面积 112

一、定积分的元素法 112

§5．7 平面图形的面积 112

§5．8 体积 115

一、旋转体的体积 115

二、平行截面面积为已知的立体的体积 116

§5．9 平面曲线的弧长 117

一、直角坐标情形 117

二、参数方程情形 118

三、极坐标情形 118

§5．10 功 水压力和引力 119

一、变力沿直线所作的功 119

三、引力 120

二、水压力 120

第五章 习题 121

第六章 空间解析几何与矢量代数 125

§6．1 矢量 125

一、空间直角坐标系 125

二、矢量的概念 126

三、矢量的线性运算 127

四、矢量的乘法运算 131

§6．2 平面与直线 135

一、平面 135

二、空间直线 139

§6．3 一些常见的二次曲面及空间曲线 144

一、常见的二次曲面 145

二、空间曲线 151

第六章 习题 153

第七章 多元函数的微分法及其应用 156

§7．1 多元函数的基本概念 156

一、多元函数及其定义域 156

二、二元函数的几何表示 157

三、二元函数的极限 158

四、二元函数的连续性 159

一、偏导数 160

§7．2 二元函数的偏导数与全微分 160

二、高阶偏导数 163

三、全微分及其应用 164

§7．3 多元复合函数与隐函数的求导法则 167

一、多元复合函数的求导法则 167

二、全微分形式不变性 168

三、隐函数的求导法则 169

§7．4 微分法在几何上的应用 170

一、空间曲线的切线与法平面 170

二、曲面的切平面与法线 173

一、方向导数 175

§7．5 方向导数与梯度 175

二、梯度 177

§7．6 多元函数的极值及其求法 179

一、多元函数的极值 179

二、条件极值 182

第七章 习题 184

第八章 重积分 187

§3．1 二重积分的概念 187

一、引例 187

二、二重积分的定义 188

§8．2 二重积分的性质 189

一、利用直角坐标计算二重积分 191

§8．3 二重积分的计算 191

二、利用极坐标计算二重积分 195

§8．4 三重积分的概念 199

§8．5 三重积分的计算 200

一、利用直角坐标计算三重积分 201

二、利用柱面坐标计算三重积分 203

三、利用球面坐标计算三重积分 205

一、曲面的面积 207

§8．6 二重积分的应用 207

二、平面薄片的重心 209

三、平面薄片的转动惯量 210

四、平面薄片对质点的引力 211

第八章 习题 212

第九章 曲线积分与曲面积分 216

§9．1 曲线积分 216

一、对弧长的曲线积分 216

二、对坐标的曲线积分 219

§9．2 格林(Green)公式 223

三、两类曲线积分之间的关系 223

§9．3 平面曲线积分与路径无关的条件 228

§9．4 曲面积分 231

一、对面积的曲面积分 231

二、对坐标的曲面积分 233

三、两类曲面积分之间的关系 237

第九章 习题 239

第十章 微分方程 242

§10．1 微分方程的基本概念 242

一、可分离变量的微分方程 244

§10．2 一阶微分方程 244

二、一阶线性微分方程 246

三、一阶微分方程应用举例 249

§10．3 可降阶的高阶微分方程 251

一、y(n)＝f(x)型的微分方程 251

二、y″＝f(x,y′)型的微分方程 251

三、y″＝f(y,y′)型的微分方程 252

§10．4 二阶常系数齐次线性微分方程 253

§10．5 二阶常系数非齐次线性微分方程 256

第十章 习题 262

§11．1 常数项级数的概念和性质 265

一、常数项级数的基本概念 265

第十一章 无穷级数 265

二、无穷级数的基本性质 267

§11．2 常数项级数的审敛法 269

一、正项级数及其审敛法 269

二、交错级数 任意项级数及绝对收敛 274

§11．3 幂级数 275

一、函数项级数的一般概念 275

二、幂级数及其收敛性 276

三、幂级数的运算 278

一、泰勒级数 279

§11．4 函数展开成幂级数 279

二、函数展开成幂级数 280

§11．5 函数的幂级数展开式的应用 283

一、近似计算 283

二、欧拉(Euler)公式 284

§11．6 傅立叶(Fourier)级数 285

一、三角级数 三角函数系的正交性 285

二、函数展开成傅立叶级数 286

§11．7 正弦级数和余弦级数 289

§11．8 周期为2l的周期函数的傅立叶级数 291

§11．9 傅立叶级数的复数形式 293

第十一章 习题 295

第二篇 积分变换 298

第十二章 傅立叶变换 298

§12．1 傅立叶积分 298

§12．2 傅立叶变换 299

一、傅立叶变换的概念 299

二、单位脉冲函数及其傅立叶变换 300

三、非周期函数的频谱 302

§12．3 傅立叶变换的性质 304

§12．4 卷积 307

第十二章 习题 309

第十三章 拉普拉斯变换 311

§13．1 拉普拉斯变换的概念 311

§13．2 拉氏变换的性质 314

§13．3 拉氏逆变换 318

§13．4 卷积 321

§13．5 拉普拉斯变换的应用 323

第十三章 习题 327

第三篇 线性代数 329

第十四章 n阶行列式 329

§14．1 n阶行列式的定义 329

§14．2 n阶行列式的性质 333

§14．3 克莱姆法则 338

第十四章 习题 340

第十五章 矩阵 342

§15．1 矩阵的概念 342

一、矩阵的定义 342

二、几种特殊矩阵 343

§1 5．2 矩阵的运算 344

一、矩阵的加法 344

二、数与矩阵相乘 344

三、矩阵与矩阵相乘 345

四、矩阵的转置 347

五、方阵的行列式 348

§15．3 矩阵的秩 349

§15．4 逆矩阵 350

§15．5 矩阵的初等变换 354

一、矩阵的初等变换 354

二、利用初等变换求矩阵的秩 354

三、初等方阵 356

四、利用初等变换求逆矩阵 357

第十五章 习题 358

§16．1 非齐次线性方程组 361

第十六章 线性方程组 361

§16．2 齐次线性方程组 367

§16．3 线性方程组的数值解法 371

一、主元素消去法 372

二、迭代法 375

第十六章 习题 378

第四篇 概率论 380

第十七章 随机事件及其概率 380

§1 7．1 随机事件 事件的关系及运算 380

一、随机试验 380

二、随机事件 样本空间 381

三、随机事件的关系及运算 382

§1 7．2 频率、概率及其性质 384

一、频率 384

二、概率的统计定义 385

三、概率的公理化定义 386

§17．3 古典概型 388

一、古典概型的计算公式 388

二、排列与组合 388

三、古典概型计算例题 389

一、条件概率 392

§17．4 条件概率与事件的独立性 392

二、事件的独立性 394

§17．5 全概率公式与贝叶斯公式 397

一、全概率公式 397

二、贝叶斯(Bayes)公式 398

第十七章 习题 399

第十八章 随机变量及其分布 402

§18．1 随机变量 402

一、概率分布律 403

二、常见离散型概率分布举例 403

§18．2 离散型随机变量的概率分布 403

§18．3 随机变量的分布函数 406

§18．4 连续型随机变量的概率密度 409

一、连续型随机变量 概率密度 409

二、连续型随机变量概率分布举例 410

§18．5 二维随机变量 413

一、二维随机变量及其分布函数 413

二、二维离散型随机变量 414

三、二维连续型随机变量 415

四、边沿分布 416

五、随机变量的相互独立性 418

§18．6 随机变量的函数及其分布 420

一、一维随机变量的函数 420

二、二维随机变量的函数 423

第十八章 习题 425

第十九章 数字特征 大数定律与中心极限定理 429

§19．1 数学期望 429

一、数学期望 429

二、数学期望的性质 432

§19．2 方差 433

§19．3 协方差 相关系数 436

§19．4 大数定律与中心极限定理 437

一、大数定律 437

二、中心极限定理 438

第十九章 习题 440

附录Ⅰ 几种常用的曲线 442

附录Ⅱ 积分表 445

附录Ⅲ 傅氏变换简表 452

附录Ⅳ 拉氏变换简表 455

附录Ⅴ 正态分布表 459

习题参考答案 461