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第1章 极限理论 1

1 数列的极限 1

1.1 数列极限的定义 1

1.2 无穷小量·无穷大量 7

1.3 收敛数列的性质及运算 14

1.4 夹逼法则 22

1.5 施笃兹定理 25

1.6 上确界·下确界·单调数列的极限 28

1.7 数e 34

习题 37

2.1 函数极限的定义 41

2 函数的极限 41

2.2 函数极限的性质 53

2.3 无穷大(小)的比较·o，O，O*的运算 60

2.4 单侧极限·单调有界法则 68

2.5 常用极限·求极限时常用的等式、不等式 71

习题 72

3 实数系的基本定理 75

3.1 区间套定理 75

3.2 聚点存在定理·子数列收敛定理 79

3.3 上极限·下极限 82

3.4 收敛准则 94

3.5 有限覆盖定理 97

习题 100

第1章总习题 102

第2章 一元连续函数 104

1 连续与间断 104

1.1 连续函数的概念 104

1.2 初等函数的连续性 108

1.3 单方连续与间断 112

1.4 利用连续性求极限 116

习题 120

2 连续函数的性质 123

2.1 有界性定理·最大值、最小值定理 123

2.2 零点定理·介值定理 125

2.3 一致连续 126

2.4 一致连续函数之例 131

习题 134

第2章总习题 135

第3章 导数与微分 137

1 一阶导数·一阶微分 137

1.1 导数的概念 137

1.2 导数的运算 142

1.3 求导数之例 151

1.4 单方导数·间断的导函数 155

1.5 微分的概念 160

1.6 上半连续·下半连续·霍尔德连续 164

习题 167

2.1 高阶导数 171

2 高阶导数·高阶微分 171

2.2 高阶微分 176

2.3 参变量方程所定义的函数和隐函数的导数及微分 178

习题 180

第3章总习题 181

第4章 利用导数研究函数 183

1 微分学基本定理 183

1.1 费马定理·罗尔定理 183

1.2 中值定理 187

1.3 不定式的定值 191

习题 198

2.1 泰勒公式及其余项 200

2 泰勒公式 200

2.2 初等函数的泰勒公式 207

习题 211

3 函数的局部性质与整体性质 212

3.1 函数上升、下降的判别法 212

3.2 函数的极值、最大值、最小值 216

3.3 凸函数·函数的拐点 220

3.4 函数的图形 227

习题 235

第4章总习题 237

1 实数的公理系统 239

1.1 数的发展过程 239

第5章 实数理论 239

1.2 实数的公理系统 240

习题 245

2 康托尔的实数模型 245

2.1 实数的定义 245

2.2 Rc上的四则运算 250

2.3 Rc上的次序 256

2.4 Rc上的绝对值与不等式 260

2.5 Rc上的极限 262

习题 269

3 实数的其他模型 269

3.1 p进制法简介 269

3.2 狄德金分划法简介 270

3.3 连分数法简介 272

3.4 实数系是最大的阿基米德有序? 273

习题 274

第5章总习题 275

第6章 不定积分 276

1 不定积分与原函数 276

习题 281

2 换元积分法·分部积分法 281

2.1 换元积分法 281

2.2 分部积分法 286

习题 290

3 有理函数的积分 292

4 三角函数有理式的积分 300

习题 300

习题 304

5 某些无理函数的积分 304

5.1 ∫R{x,(ax+b/cx+d)r,…,(ax+b/cx+d)?}dx 305

5.2 ∫xr(a+bx?)pdx 306

5.3 ∫R(x,√ax2+bx+c)dx 307

习题 310

6 几种不能表示成初等函数的积分 311

7 简单的微分方程 313

7.1 基本概念 313

7.2 可分离变量的一阶方程 314

7.3 可化为变量分离的一阶方程 317

7.4 一阶线性方程 321

7.5 二阶常系数线性方程 325

习题 328

第6章总习题 329

第7章 定积分 332

1 定积分及其存在条件 332

1.1 定积分的概念 332

1.2 定积分的存在条件 335

习题 339

2 几类可积函数 340

习题 344

3 定积分的性质 345

习题 351

4 定积分的计算 352

4.1 微积分基本公式 352

4.2 定积分的换元法 356

4.3 定积分的分部积分法 359

习题 366

5 定积分的近似计算 368

5.1 梯形公式 368

5.2 抛物线公式 369

6 定积分的应用 372

6.1 平面图形的面积 372

习题 372

6.2 截面面积为已知的立体的体积 378

6.3 曲线的弧长 382

6.4 旋转面的面积 388

6.5 力学量和物理量的计算 392

习题 397

第7章总习题 398

第8章 多元函数 402

1 欧几里得空间 402

1.1 基本概念 402

1.2 基本性质 406

1.3 几个基本定理 410

习题 416

2.1 多元函数 417

2 多元函数及其极限 417

2.2 极限 418

2.3 累次极限 422

习题 425

3 多元函数的连续性 426

3.1 连续函数及其运算 426

3.2 连续函数的性质 427

习题 431

4 向量值函数 432

4.1 基本概念 432

4.2 极限 436

4.3 连续性 437

第8章总习题 439

习题 439

第9章 多元函数的微分学 441

1 偏导数·全微分 441

1.1 偏导数 441

1.2 全微分 445

1.3 链锁法则 450

1.4 一阶全微分的形式的不变性 455

习题 458

2 高阶偏导数·高阶全微分 460

2.1 高阶偏导数 460

2.2 高阶全微分 468

2.3 泰勒公式 473

习题 476

3 向量值函数的导数与可微性 478

3.1 向量值函数的偏导数 478

3.2 可微性 481

3.3 链锁法则 484

习题 487

4 隐函数及其微分法 488

4.1 问题的提出 488

4.2 纯量值隐函数 490

4.3 向量值隐函数 496

习题 508

5 函数相关和函数独立 510

5.1 基本概念 510

5.2 函数独立的判定 511

习题 515

6 微分学的应用 516

6.1 空间曲线的切线与法平面 516

6.2 曲面的切平面与法线 521

6.8 平面曲线的曲率 526

6.4 多元函数的极值 529

6.5 最大值·最小值 535

6.6 条件极值·拉格朗日乘数法 538

习题 544

第9章总习题 547

习题答案与提示 549

参考文献 579