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第一篇 集合论 1

第一章 集合 1

1.集合的概念 1

2.子集、集合的相等 4

3.集合的基本运算 9

4.余集、De Morgan公式 16

5.笛卡儿乘积 19

6.有穷集合的基数 24

7.集合的划分 28

第二章 映射 33

1.映射的概念 33

2.重叠原理及其应用 38

3.映射的一般性质 41

4.映射的合成 44

5.逆映射 49

6.置换 52

7.二元和n元运算 60

8.集合的特征函数 67

第三章 无穷集合及其基数 71

1.可数集 71

2.不可数集的存在及连续统集 76

3.基数及其比较 82

4.Cantor-Berhstein定理 86

5.集合论悖论 92

第四章 关系 95

1.关系的概念 95

2.几种特殊类型的关系 102

3.关系的合成 108

4.关系的闭包运算 114

5.关系矩阵与关系图 118

6.等价关系 125

7.映射按等价关系分解 130

8.偏序关系、偏序集 133

9.保序映射 141

10.良序集与数学归纳法 143

11.选择公理及其等价命题 152

第五章 模糊集合论 161

1.引言 161

2.模糊(Fuzzy)子集的概念 163

3.模糊集的运算 167

4.隶属原则与择近原则 173

5.模糊关系与模糊映射 177

6.模糊聚类分析 183

7.模糊集的分解定理 188

第二篇 图论 194

第六章 图的基本概念 194

1.图论的产生与发展史概述 194

2.基本定义 196

3.路、回路、连通图 204

4.补图、双图 208

5.欧拉图 214

6.哈密顿图 219

7.交图、线图 226

8.带权图、最短路问题 232

9.邻接矩阵 236

第七章 树、割集 242

1.树及其性质 242

2.生成树 247

3.割点、桥、割集 253

4.关联矩阵与生成树的数目 258

第八章 图的连通性与可平面性 264

1.顶点连通度与边连通度 264

2.明格尔定理 268

3.匹配 272

4.平面图的欧拉公式 277

5.可着色性 281

第九章 有向图 285

1.有向图的概念 285

2.有向路和有向回路 289

3.有向图的矩阵表示 296

4.有向树与有序树 301

5.判定树 309

第三篇 近世代数 316

第十章 半群和独异点 316

1.引言：近世代数的特点 316

2.若干基本概念 319

3.半群和独异点的概念 322

4.子半群、子独异点、理想 328

5.同构、同态 332

6.有限字母表上的自由独异点、语言 338

第十一章 群 345

1.群的定义及例子 345

2.群的简单性质 349

3.子群、生成子群 354

4.变换群、群的同构 358

5.循环群 363

6.子群的陪集、拉格朗日(Legrange)定理 370

7.正规子群、商群 373

8.同态基本定理 381

9.直积 387

第十二章 环和域 392

1.定义及简单性质 392

2.无零因子环的特征数 401

3.同态、理想子环 405

4.环的同态基本定理 410

5.极大理想、弗尔马(Fermat)定理 414

1.格的定义及其简单性质 417

第十三章 格 417

2.对偶原理、格作为一个代数系 424

3.某些特殊的格 432

4.分配格的一些性质 436

5.模格 441

第十四章 布尔代数 445

1.定义及简单性质 445

2.布尔代数与布尔环的等价性 451

3.布尔代数的理想与同构 456

4.有限布尔代数的表示定理 462

5.布尔表达式 465

6.布尔函数 474

附录：本书所用的符号 478