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第一章 函数与极限 1

1．1 函数 1

一、函数概念及函数的几种特性 1

二、反函数、基本初等函数 9

三、复合函数与初等函数 13

习题1．1 14

1．2 函数的极限 17

一、数列的极限 17

二、函数的极限 21

三、函数极限的性质 25

习题1．2 26

1．3 无穷小与无穷大 27

一、无穷小 27

二、无穷大 28

三、无穷小与无穷大的关系 29

习题1．3 29

1．4 极限的运算 30

一、无穷小的运算法则 30

二、极限运算法则 31

三、极限存在准则与两个重要极限 34

四、无穷小的比较 39

习题1．4 41

1．5 函数的连续性 42

一、函数连续性概念 42

二、函数的间断点 45

三、初等函数的连续性 47

习题1．5 50

1．6 闭区间上连续函数的性质 51

习题1．6 53

第二章 导数与微分 54

2．1 导数的概念 54

一、引例 54

二、导数的定义 56

三、导数的几何意义 59

四、可导性与连续性的关系 60

习题2．1 61

2．2 几个基本初等函数的导数 62

一、常数的导数 62

二、幂函数的导数 62

三、正弦、余弦函数的导数 63

四、指数函数的导数 63

五、对数函数的导数 64

习题2．2 65

2．3 导数的运算法则与基本导数公式 65

一、函数和、差、积、商的导数 65

二、反函数的导数 68

三、复合函数的导数 70

四、基本导数公式与函数的求导法则 73

习题2．3 73

2．4 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 75

一、隐函数的导数 75

二、对数求导法 76

三、由参数方程所确定的函数的导数 77

习题2．4 79

2．5 高阶导数 79

习题2．5 82

2．6 函数的微分 83

一、微分的概念 83

二、微分的几何意义 86

三、微分的运算与微分形式的不变性 86

四、微分在近似计算中的应用 88

习题2．6 90

第三章 微分中值定理与导数的应用 91

3．1 微分中值定理 91

一、罗尔定理 91

二、拉格朗日中值定理 93

三、柯西中值定理 95

习题3．1 95

3．2 罗必达法则 96

一、0/0型未定式的极限 96

二、∞/∞型未定式的极限 99

三、其他类型的未定式 100

习题3．2 102

3．3 函数的单调增减性及其判别法 103

习题3．3 105

3．4 函数的极值及其求法 106

一、极值的定义 106

二、极值存在的必要条件 107

三、极值存在的第一充分条件 108

四、极值存在的第二充分条件 109

习题3．4 111

3．5 最大值、最小值及其应用 111

习题3．5 115

3．6 曲线的凹凸与拐点 116

习题3．6 119

3．7 函数作图 119

习题3．7 123

3．8 泰勒公式与泰勒级数 123

一、泰勒公式 123

二、泰勒级数 127

习题3．8 130

第四章 不定积分 132

4．1 不定积分的概念与性质 132

一、原函数与不定积分的概念 132

二、基本积分表 135

三、不定积分的性质 136

习题4．1 138

4．2 换元积分法 140

一、第一换元积分法 140

二、第二换元积分法 145

习题4．2 150

4．3 分部积分法 151

习题4．3 155

4．4 几种特殊类型函数的积分 156

一、有理函数的积分 156

二、三角函数有理式的积分 159

三、简单无理函数的积分 161

习题4．4 162

4．5 积分表的使用 163

第五章 定积分 165

5．1 定积分的概念 165

一、定积分概念的引入——两个实例 165

二、定积分的定义 168

三、定积分的几何意义 170

习题5．1 171

5．2 定积分的性质 171

习题5．2 175

5．3 微积分基本定理 175

习题5．3 179

5．4 定积分的基本积分法 180

一、定积分的换元积分法 180

二、定积分的分部积分法 183

习题5．4 185

5．5 定积分的应用 186

一、定积分的微元法 186

二、定积分的几何应用 187

三、定积分的物理应用 194

习题5．5 196

5．6 广义积分 197

一、无穷区间上的广义积分 197

二、有无穷间断点的广义积分 199

三、Г-函数与В-函数 200

1．Г-函数 200

2．В-函数 202

习题5．6 204

第六章 空间解析几何与向量代数 205

6．1 空间直角坐标系 205

一、空间直角坐标系 205

二、空间两点间的距离 206

习题6．1 207

6．2 向量及其线性运算 208

一、向量的概念 208

二、向量的线性运算 209

三、向量的坐标表示 212

习题6．2 216

6．3 向量的数量积与向量积 217

一、两个向量的数量积 217

二、两个向量的向量积 219

习题6．3 221

6．4 平面与空间直线 222

一、平面方程 222

二、空间直线 227

习题6．4 231

6．5 曲面与空间曲线 232

一、曲面 232

二、空间曲线 237

习题6．5 240

6．6 二次曲面 241

一、椭球面 241

二、抛物面 243

三、双曲面 244

习题6．6 245

第七章 多元函数微分学 247

7．1 多元函数的基本概念 247

一、区域 247

二、多元函数的定义 248

习题7．1 251

7．2 二元函数的极限与连续 251

一、二元函数的极限 251

二、二元函数的连续性 253

习题7．2 256

7．3 偏导数与全微分 256

一、偏导数概念 256

二、全微分概念 262

习题7．3 267

7．4 多元复合函数微分法 268

一、复合函数的求导法则 268

二、隐函数微分法 274

习题7．4 277

7．5 偏导数的几何应用 279

一、空间曲线的切线与法平面 279

二、曲面的切平面与法线 281

习题7．5 284

7．6 多元函数的极值 284

一、极值的定义 284

二、极值的求法 285

三、最大值与最小值 287

四、条件极值、拉格朗日乘数法 289

五、最小二乘法 292

习题7．6 296

第八章 二重积分 298

8．1 二重积分的概念与性质 298

一、二重积分的概念 298

二、二重积分的性质 301

习题8．1 303

8．2 二重积分的计算 304

一、直角坐标系下二重积分的计算 304

二、极坐标系下二重积分的计算 312

习题8．2 317

8．3 二重积分的应用 320

一、立体的体积 320

二、曲面面积 322

习题8．3 325

第九章 微分方程 327

9．1 微分方程的基本概念 327

一、引例 327

二、微分方程的一般概念 328

习题9．1 329

9．2 可分离变量的一阶微分方程 330

习题9．2 333

9．3 一阶线性微分方程 333

一、线性齐次方程与线性非齐次方程 333

二、贝努里方程 339

习题9．3 341

9．4 可降阶的高阶微分方程 341

一、y(n)=f(x)型的高阶微分方程 342

二、y″＝f(x，y′)型的微分方程 342

三、y″＝f(y，y′)型的微分方程 344

习题9．4 345

9．5 二阶常系数线性微分方程 346

一、通解的结构 346

二、二阶常系数线性齐次微分方程通解的求法 348

三、二阶常系数线性非齐次微分方程 352

习题9．5 356

第十章 无穷级数 358

10．1 常数项级数的概念与性质 358

一、常数项级数的概念 358

二、无穷级数的基本性质 361

习题10．1 364

10．2 数项级数敛散性的判别法 365

一、正项级数及其敛散性的判别法 365

二、交错级数及其敛散性的判别法 372

三、绝对收敛与条件收敛 373

习题10．2 376

10．3 幂级数 378

一、函数项级数的一般概念 378

二、幂级数及其收敛区间 379

三、幂级数的运算 383

习题10．3 385

10．4 函数展开成幂级数 386

一、函数的幂级数展开式 386

二、函数展开成幂级数 387

习题10．4 391

10．5 幂级数在近似计算中的应用 391

习题10．5 395

附录 积分表 396

习题答案 409