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目录 1

第七章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 空间直角坐标系 1

一、空间点的直角坐标 1

二、空间两点的距离公式 4

习题7-1 5

第二节 向量及其运算 6

一、向量的概念 6

二、向量的加减法 7

三、向量与数的乘法 8

习题7-2 10

第三节 向量的坐标 10

一、向量在轴上的投影与投影定理 11

二、向量的分解与向量的坐标 14

三、向量的模与方向余弦 17

习题7-3 20

第四节 向量的数量积与向量积 21

一、两向量的数量积 21

二、两向量的向量积 25

三、向量的混合积 30

习题7-4 32

第五节 平面及其方程 33

一、平面的点法式方程 33

二、平面的一般式方程 35

三、两平面的夹角 39

四、点到平面的距离 41

习题7-5 42

二、空间直线的点向式方程和参数方程 43

一、空间直线的一般式方程 43

第六节 空间直线及其方程 43

三、两直线的夹角 46

四、直线与平面的夹角 47

五、平面束 50

习题7-6 52

第七节 曲面及其方程 54

一、曲面方程的概念 54

二、柱面 55

三、旋转曲面 57

习题7-7 59

第八节 空间曲线及其方程 60

一、空间曲线的一般式方程 60

二、空间曲线的参数方程 62

三、空间曲线在坐标面上的投影 63

习题7-8 65

第九节 二次曲面 66

一、椭球面 66

二、抛物面 67

三、双曲面 70

习题7-9 70

第八章 多元函数微分法 72

第一节 多元函数的基本概念 72

一、区域 72

二、多元函数的概念 74

三、多元函数的极限 78

四、多元函数的连续性 82

习题8-1 85

第二节 偏导数 86

一、偏导数的定义及其计算法 86

二、二元函数偏导数的几何意义 91

三、高阶偏导数 92

习题8-2 95

第三节 全微分及其应用 96

一、全微分的概念及其计算 96

二、全微分在近似计算中的应用 103

习题8-3 104

第四节 多元复合函数的求导法则 105

一、复合函数求导法则 105

二、全导数 111

三、复合函数的高阶偏导数 112

四、全微分形式的不变性 115

习题8-4 117

一、一个方程的情形 118

第五节 隐函数的求导方法 118

二、方程组的情形 122

习题8-5 125

第六节 方向导数与梯度 126

一、方向导数 126

二、梯度 130

习题8-6 136

第七节 微分法的几何应用 136

一、空间曲线的切线与法平面 136

二、曲面的切平面与法线 142

习题8-7 147

第八节 多元函数的极值 148

一、多元函数的极值 148

二、多元函数的最大值和最小值 152

三、条件极值 154

第九节 最小二乘法 159

习题8-8 159

习题8-9 164

第九章 重积分 165

第一节 二重积分的概念与性质 165

一、引例 165

二、二重积分的定义 168

三、二重积分的性质 170

习题9-1 172

第二节 二重积分的计算法 173

一、利用直角坐标计算二重积分 173

二、利用极坐标计算二重积分 181

习题9-2 188

第三节 二重积分的应用 191

一、曲面的面积 191

二、平面薄片的重心 196

三、平面薄片的转动惯量 198

习题9-3 200

第四节 三重积分及其计算 201

一、三重积分的概念及性质 201

二、三重积分的计算 203

习题9-4 209

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 211

一、利用柱面坐标计算三重积分 211

二、利用球面坐标计算三重积分 214

习题9-5 223

第十章 曲线积分与曲面积分 226

第一节 对弧长的曲线积分 226

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 226

二、对弧长的曲线积分的计算法 229

习题10-1 235

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 236

第二节 对坐标的曲线积分 236

二、对坐标的曲线积分的计算法 240

三、两类曲线积分之间的联系 247

习题10-2 249

第三节 格林公式及其应用 250

一、格林公式 251

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 259

三、二元函数的全微分求积 263

习题10-3 268

第四节 对面积的曲面积分 270

一、对面积的曲面积的概念与性质 270

二、对面积的曲面积分的计算法 271

习题10-4 276

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 277

第五节 对坐标的曲面积分 277

二、对坐标的曲面积分的计算法 282

三、两类曲面积分之间的关系 288

习题10-5 291

第六节 高斯公式通量与散度 292

一、高斯公式 292

二、通量与散度 297

习题10-6 302

第七节 斯托克斯公式环量与旋度 303

一、斯托克斯公式 303

二、环量与旋度 308

习题10-7 314

第十一章 无穷级数 315

第一节 常数项级数的概念及性质 315

一、无穷级数的概念 315

二、无穷级数的收敛性 316

三、级数收敛的必要条件 320

四、级数的基本性质 322

习题11-1 325

第二节 正项级数及其收敛判别法 326

一、比较判别法 328

二、比值判别法 332

三、根值判别法 335

习题11-2 340

第三节 任意项级数及其收敛判别法 342

一、交错级数及其收敛判别法 343

二、绝对收敛与条件收敛 345

习题11-3 349

第四节 幂级数 350

一、函数项级数的概念 350

二、幂级数及其收敛性 352

三、幂级数的运算 357

习题11-4 362

第五节 函数展开为幂级数 363

一、泰勒级数 364

二、函数展开成幂级数 367

习题11-5 375

第六节 函数的幂级数展开式的应用 376

一、近似计算 376

二、欧拉公式 380

习题11-6 381

第七节 傅立叶级数 382

一、问题的提出 382

二、三角函数系的正交性 384

三、函数展开成傅立叶级数 385

一、奇函数与偶函数的傅立叶级数 393

习题11-7 393

第八节 正弦级数与余弦级数 393

二、函数展开成正弦级数或余弦级数 396

习题11-8 398

第九节 任意区间上的傅立叶级数 399

习题11-9 404

第十节 傅立叶级数的复数形式 405

习题11-10 408

附录 幂级数分析性质的证明 408

第十二章 微分方程 413

第一节 微分方程的基本概念 413

习题12-1 419

第二节 可分离变量的微分方程 420

一、可分离变量的微分方程 421

二、可化为可分离变量的方程 424

习题12-2 429

第三节 一阶线性微分方程 430

一、线性方程 430

二、贝努利方程 434

习题12-3 436

第四节 全微分方程 438

习题12-4 442

第五节 一阶微分方程的近似解 443

习题12-5 449

第六节 建立微分方程及其应用举例 449

一、几何问题 450

二、力学问题 452

三、电学问题 454

四、其它 456

习题12-6 458

一、y′=f（x）型的微分方程 459

第七节 可降阶的高阶微分方程 459

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 460

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 464

习题12-7 466

第八节 高阶线性微分方程 466

一、二阶线性微分方程举例 467

二、二阶齐次线性微分方程解的结构 469

三、二阶线性非齐次微分方程解的结构 472

四、常数变易法 473

五、n阶线性方程的通解 475

习题12-8 476

第九节 二阶常系数齐次线性微分方程 476

习题12-9 483

第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程 484

一、f（x）=Pn（x）型 485

二、f（x）=eλxPx（x）型 486

三、f（x）=Px（x）eaxcosβx型与f（x）=Pn（x）eaxsinβx型 490

习题12-10 493

第十一节 二阶常系数线性微分方程应用举例 494

一、阻尼振动 495

二、强迫振动 498

习题12-11 501

第十二节 某些特殊变系数的线性微分方程的解法 502

一、变量替换法 503

二、幂级数解法 506

习题12-12 511

第十三节 常系数线性微分方程组解法举例 512

习题12-13 516

习题答案 517