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前言 1

第一章 集合 映射 函数 1

第一节 集合 1

一、集合 1

二、集合的运算 2

三、集合运算的性质 3

四、笛卡尔积集 4

习题1-1 5

第二节 映射 6

一、关系 6

二、央射 6

习题1-2 7

第三节 函数 8

一、函数的概念 8

二、一元函数 9

三、二元函数 10

习题1-3 12

第四节 函数的几种特性 12

一、有界性 12

二、奇偶性 13

三、单调性 13

四、周期性 13

习题1-4 14

第五节 基本初等函数 初等函数 14

一、幂函数 15

二、指数函数 15

三、对数函数 15

四、三角函数 15

五、反三角函数 16

六、初等函数 17

七、双曲函数与反双曲函数 18

习题1-5 19

第一节 全排列的逆序数 21

第二章 行列式 21

习题2-1 22

第二节 行列式的定义 22

习题2-2 25

第三节 行列式的性质 25

习题2-3 29

第四节 行列式的展开 30

第一节 空间直角坐标系 33

习题2-4 36

第五节 克莱姆法则 37

习题2-5 40

第三章 矩阵 41

第一节 矩阵的概念 41

第二节 矩阵的运算 43

一、矩阵的加法 43

二、数与矩阵相乘 43

三、矩阵与矩阵相乘 43

四、矩阵的转置 46

五、矩阵的共轭 47

习题3-2 47

第三节 逆矩阵与分块矩阵 48

一、逆矩阵及其性质 48

二、矩阵分块法 52

习题3-3 54

第四节 矩阵的初等变换与初等阵 55

一、矩阵的初等变换 55

二、初等阵 58

三、用初等变换法求逆矩阵 60

习题3-4 62

第四章 向量与线性方程组 63

第一节 几何向量及其运算 63

一、向量的概念 63

二、向量的运算 63

习题4-1 69

第二节 n维向量的概念 69

第三节 线性相关与线性无关 70

习题4-2 70

一、向量组的秩 74

习题4-3 74

第四节 秩 74

二、矩阵的秩 76

习题4-4 79

第五节 线性方程组解的讨论 79

习题4-5 82

第六节 齐次线性方程组解的结构 82

习题4-6 86

第七节 非齐次线性方程组解的结构 87

习题4-7 89

第五章 线性空间与线性变换 91

第一节 线性空间的概念 91

一、线性空间的定义 91

二、线性空间的性质 92

习题5-1 92

第二节 维数，基与坐标 93

习题5-2 95

一、子空间 96

二、线性生成空间 96

第三节 子空间与线性生成 96

习题5-3 98

第四节 欧氏空间 98

一、欧氏空间的概念 98

二、向量范数 99

三、R3空间向量的坐标及运算 100

习题5-4 102

第五节 基变换与坐标变换 103

习题5-5 105

第六节 向量的正交化 105

习题5-6 108

第七节 线性变换 108

一、线性变换的概念 108

二、线性变换的矩阵表示式 110

习题5-7 113

第六章 特征值问题与实二次型 114

第一节 特征值与特征向量 114

第二节 相似矩阵 117

一、相似矩阵及其性质 117

习题6-1 117

二、对称矩阵的相似 119

三、约当型矩阵简介 122

习题6-2 123

第三节 二次型及其标准形 125

一、二次型与对称矩阵 125

二、用正交变换将二次型化为标准形 126

三、用配方法化二次型为标准形 128

习题6-3 129

第四节 正定二次型 130

习题6-4 132

一、空间直角坐标系 133

第七章 空间解析几何 133

二、空间两点的距离 134

习题7-1 134

第二节 平面 135

一、平面的方程 135

二、两平面的关系 137

三、点到平面的距离 138

习题7-2 138

第三节 空间直线 139

一、直线的方程 139

二、两直线的关系 140

三、直线与平面的关系 140

四、平面束 142

五、Rn中的直线与超平面 143

习题7-3 144

二、旋转曲面 145

第四节 二次曲面 145

一、球面 145

三、椭球面 146

四、双曲面 147

五、抛物面 148

六、二次柱面 149

七、二次锥面 149

习题7-4 150

第五节 空间曲线 150

一、空间曲线的方程 150

二、曲线在坐标面上的投影 151

习题7-5 152

第八章 函数的极限与连续 153

第一节 一元函数极限概念 153

一、当x→x0时函数的极限 153

二、当x→∞时函数的极限 155

习题8-1 157

第二节 函数极限定理 158

一、极限性质 158

二、极限运算法则 158

三、极限存在准则 两个重要极限 160

习题8-2 163

第三节 无穷小量与无穷大量 164

一、无穷小量 164

二、无穷大量 165

三、无穷小量的比较 167

习题8-3 168

第四节 一元函数的连续性 169

一、函数的连续性 169

二、间断点及其分类 170

三、初等函数的连续性 171

习题8-4 173

一、最大值和最小值定理 174

二、介值定理 174

第五节 闭区间上连续函数的性质 174

习题8-5 175

第六节 多元函数的极限与连续 176

一、二元函数的极限 176

二、多元函数的极限 177

三、二元函数的连续性 177

四、闭区域上连续函数的性质 178

习题8-6 178

一、变化率问题 180

第九章 微分学基本理论 180

第一节 导数 180

二、导数概念 183

三、导数与连续的关系 186

四、一元函数导数与二元函数偏导数的几何意义 186

习题9-1 187

第二节 函数的四则运算的求导法则 基本初等函数的导数 189

一、函数的四则运算的求导法则 189

三、基本初等函数的导数 191

二、反函数的求导法则 191

习题9-2 194

第三节 一元复合函数求导的链式法则 初等函数的求导问题 195

一、一元复合函数求导的链式法则 195

二、初等函数的求导问题 198

三、双曲函数与反双曲函数的导数 198

习题9-3 199

第四节 微分中值定理 200

一、罗尔(Rolle)定理 200

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 201

三、柯西(Cauchy)中值定理 202

习题9-4 203

第五节 多元复合函数求导法则 203

一、多元函数的全增量公式 204

二、多元复合函数偏导数的链式法则 204

习题9-5 207

一、隐函数求导法则 208

第六节 隐函数及参变量函数的导数 208

二、参变量函数求导法则 212

习题9-6 216

第七节 微分与全微分 217

一、微分 217

二、全微分 220

习题9-7 222

第八节 导数概念的推广 223

一、方向导数 223

二、梯度 224

三、多元函数的微分运算 226

习题9-8 229

第九节 高阶导数 230

一、一元函数的高阶导数 230

二、多元函数的高阶偏导数 232

三、海赛(Hesse)矩阵 234

习题9-9 236

第十章 微分学应用 238

第一节 函数值的计算 238

一、利用微分计算函数近似值 238

二、利用泰勒(Taylor)公式计算函数近似值 240

习题10-1 244

第二节 未定式极限 245

一、罗必塔(L Hospital)法则 245

二、杂例与泰勒公式的运用 248

三、斯铎兹(Stolz)定理的应用 251

习题10-2 253

第三节 利用导数研究函数的单调性 254

习题10-3 257

第四节 利用导数确定函数极值 257

一、一元函数的极值 257

二、极值问题的一般描述 260

三、多元函数泰勒公式与极值存在条件的证明 263

第五节 利用导数研究曲线的凹凸性 267

习题10-4 267

习题10-5 269

第六节 利用导数描绘函数的图形 270

一、曲线的渐近线 270

二、函数图形的描绘 271

习题10-6 274

一、弧微分 275

二、曲率及其计算公式 275

第七节 利用导数研究曲线的弯曲程度 275

三、曲率圆与曲率半径 278

四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 279

习题10-7 281

第八节 导数的几何应用 281

一、一元函数导数的几何应用 281

二、多元函数偏导数的几何应用 284

习题10-8 288

一、最优化问题 289

第十一章 最优化问题 289

第一节 最优化问题及其数学模型 289

二、最优化问题的数学模型 291

三、最优化问题的分类 292

习题11-1 292

第二节 无约束最优化问题 293

习题11-2 295

第三节 等式约束最优化问题 296

一、只有一个等式约束 296

二、有m个等式约束 299

习题11-3 301

第四节 凸集与凸函数 301

一、凸集及其简单性质 301

二、凸函数 302

三、凸规划 305

习题11-4 306

习题参考答案 307