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第一章 数学与算法 1

第一节 数学中的算法 1

一、计算、算法和计算工具 1

二、数学软件 2

第二节 初等数学的计算机算法 3

一、Mathematica的启动和运行 3

二、用Mathematica作算术运算 3

三、用Mathematica作代数运算 4

四、用Mathematica作函数运算 6

五、用Mathematica解方程 10

六、用Mathematica作图 12

习题1-2 15

第二章 极限与连续 17

第一节 数列的极限 17

一、数列极限的概念 17

二、数列的极限 18

习题2-1 21

第二节 函数的极限 22

一、函数极限的定义 22

二、函数极限的性质 25

三、函数极限的基本运算 26

习题2-2 29

第三节 利用Mathematica计算极限 31

习题2-3 33

第四节 函数的连续性 34

一、f（x）在点x0的连续 34

二、间断点的类型 34

三、f（x）在区间上的连续性 35

习题2-4 37

第三章 一元函数微分学 39

第一节 导数的概念 39

一、导数概念实例 39

二、函数的变化率——导数 40

三、求函数y＝f（x）的变化率（导数）的方法 41

四、可导与连续的关系 43

五、导数的几何意义 43

习题3-1 44

第二节 导数的运算 45

一、导数基本运算法则 45

二、反函数的导数 47

三、基本初等函数导数公式 47

四、复合函数的导数 48

五、利用Mathematica求导数 48

习题3-2 49

第三节 隐函数和参数方程所确定的函数的导数 51

一、隐函数的导数 51

二、参数方程所确定的函数的导数 52

习题3-3 53

第四节 高阶导数 55

一、高阶导数的概念 55

二、高阶导数的求导法则 55

三、利用Mathematica求高阶导数 56

习题3-4 56

第五节 函数的微分 57

一、微分的定义 57

二、可导与微分的关系 58

三、微分的几何意义 59

四、微分的运算法则 59

五、微分在近似计算中的应用 61

六、利用Mathematica求微分 61

习题3-5 62

第四章 导数的应用 64

第一节 利用导数求极限 64

一、中值定理简介 64

二、罗必塔法则 65

习题4-1 66

第二节 函数的单调性 67

一、从几何上分析函数的单调性与导数的关系 67

二、求函数y＝f（x）的单调区间的步骤 69

习题4-2 70

第三节 函数的极值与最值 70

一、函数的极值 70

二、函数的最大值与最小值 72

习题4-3 73

第四节 一元函数微分在经济分析中的应用 74

一、经济学中几个常用函数 74

二、边际函数 75

习题4-4 76

第五节 曲线的凹凸性 77

习题4-5 78

第六节 导数应用的Mathematica求解 79

习题4-6 82

第五章 不定积分和定积分 84

第一节 不定积分 84

一、不定积分的概念 84

二、不定积分的基本公式 85

三、不定积分的性质 86

四、基本积分方法 87

五、利用Mathematica计算不定积分 90

习题5-1 92

第二节 定积分 94

一、定积分的概念 94

二、定积分的性质 96

三、微积分的基本定理 96

四、利用Mathematica计算定积分 99

习题5-2 99

第三节 广义积分 102

一、无穷区间上的广义积分 102

二、无界函数的广义积分 105

习题5-3 107

第六章 定积分的应用 108

第一节 定积分在几何上的应用 108

一、利用定积分求平面图形的面积 108

二、利用定积分求体积 112

三、利用定积分求平面曲线的弧长 115

习题6-1 116

第二节 定积分在物理上的应用 117

一、变速直线运动的路程 117

二、变力沿直线所做的功 118

三、静止液体的压力 119

四、在电学上的应用 120

习题6-2 121

第三节 定积分在经济上的应用 121

习题6-3 122

第七章 向量代数与空间解析几何 123

第一节 向量及其线性运算 123

一、空间直角坐标系 123

二、向量与向量的线性运算 125

三、向量的坐标表示式 127

习题7-1 131

第二节 向量的乘法运算 131

一、向量的数量积 131

二、向量的向量积 134

习题7-2 136

第三节 平面与直线 137

一、点的轨迹方程的概念 137

二、平面 137

三、直线 140

四、平面、直线间的夹角 143

五、点到平面的距离 144

习题7-3 145

第四节 曲面与曲线 146

一、几种常见的曲面及其方程 147

二、二次曲面 151

三、曲线 153

习题7-4 156

第五节 用Mathematica绘制空间曲面与曲线 157

一、空间曲面的绘制 157

二、绘制空间曲线 160

第八章 多元函数微积分 161

第一节 二元函数 161

一、二元函数的概念 161

二、二元函数的极限 163

三、二元函数的连续性 164

习题8-1 165

第二节 二元函数的偏导数 165

一、偏导数概念 165

二、二元函数偏导数的几何意义 166

三、二阶偏导数 167

习题8-2 168

第三节 全微分 168

一、全微分的概念 168

二、全微分在近似计算中的应用 170

习题8-3 171

第四节 复合函数和隐函数的微分法 172

一、复合函数的微分法 172

二、全微分形式的不变性 173

三、隐函数的微分法 174

习题8-4 176

第五节 二元函数的极值 176

一、二元函数的极值 176

二、最大值和最小值应用问题 178

三、条件极值 179

习题8-5 182

第六节 二重积分的概念和性质 183

一、二重积分的定义 183

二、二重积分的性质 184

习题8-6 185

第七节 二重积分的计算 186

一、直角坐标系中二重积分的计算 186

二、极坐标系中二重积分的计算 188

三、二重积分的简单应用 190

习题8-7 191

第八节 利用Mathematica求解多元函数微积分 193

一、由不等式确定的区域 193

二、求偏导数 193

三、求全微分和全导数 194

四、求多重积分 194

第九章 常微分方程 196

第一节 微分方程的基本概念 196

一、微分方程的发展 196

二、微分方程的基本概念 197

习题9-1 198

第二节 如何建立微分方程 199

习题9-2 200

第三节 微分方程的求解 201

一、可分离变量的微分方程 201

二、一阶线性微分方程 202

三、二阶常系数线性微分方程 204

四、可降阶的高阶微分方程 206

习题9-3 207

第四节 利用Mathematica求解微分方程 210

一、可以准确求解的微分方程 210

二、微分方程（组）的数值解 212

习题9-4 213

第十章 无穷级数 214

第一节 无穷级数的概念 214

一、常数项无穷级数和函数项无穷级数 214

二、无穷级数的敛散性 215

三、利用Mathematica来判断级数的敛散性 217

习题10-1 218

第二节 无穷级数的性质与敛散性 218

习题10-2 220

第三节 正项级数 220

习题10-3 223

第四节 交错级数与任意项级数 224

一、交错级数 225

二、绝对收敛与条件收敛 225

习题10-4 226

第五节 幂级数 227

一、幂级数的收敛区间 227

二、幂级数的性质 229

习题10-5 231

第六节 幂级数在函数逼近中的应用 232

一、泰勒公式 232

二、泰勒级数 233

三、幂级数在近似计算中的应用 234

习题10-6 237

附录一 符号计算系统Mathematica的常用系统函数 238

附录二 Mathematica软件常用操作命令 247

附录三 数学中的常用公式 251

附录四 习题答案与提示 255

参考文献 307