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第一章 函数 极限 连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的几种性质 2

1.1.3 反函数与复合函数 2

1.1.4 初等函数 4

1.1.5 建立函数关系举例 4

习题1-1 4

1.2 极限的概念 6

1.2.1 数列极限的定义 6

1.2.2 函数的极限 6

习题1-2 9

1.3 无穷小与无穷大 9

1.3.1 无穷小 9

1.3.2 函数的极限与无穷小的关系 9

1.3.3 无穷小的性质 10

1.3.4 无穷大 10

习题1-3 10

1.4 极限运算法则 11

习题1-4 14

1.5 极限存在准则 两个重要极限 14

习题1-5 17

1.6 无穷小的比较 18

习题1-6 19

1.7 函数的连续性与间断点 19

1.7.1 函数的连续性的概念 20

1.7.2 函数的间断点及其分类 21

习题1-7 22

1.8 初等函数连续性 闭区间上连续函数的性质 23

1.8.1 基本初等函数的连续性 23

1.8.2 复合函数的连续性 23

1.8.3 反函数的连续性 23

1.8.4 初等函数的连续性 23

1.8.5 闭区间上连续函数的性质 24

习题1-8 25

本章小结 26

总习题一 26

自测题 28

第二章 一元函数微分学 30

2.1 导数的概念 30

2.1.1 导数概念的引例 30

2.1.2 导数的定义 31

2.1.3 左、右导数 32

2.1.4 导数的几何意义 32

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 34

习题2-1 34

2.2 函数的和、差、积、商求导法则 35

2.2.1 函数和、差的求导法则 35

2.2.2 函数积的求导法则 35

2.2.3 函数商的求导法则 36

习题2-2 37

2.3 复合函数与反函数的导数 38

2.3.1 复合函数的导数 38

2.3.2 反函数的求导法则 40

习题2-3 41

2.4 隐函数的导数和由参数方程确定的函数导数 42

2.4.1 隐函数的求导法 42

2.4.2 由参数方程所确定的函数求导法 43

2.4.3 对数求导法 45

习题2-4 45

2.5 高阶导数 函数的微分 46

2.5.1 微分的定义 48

2.5.2 微分的几何意义 50

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 50

习题2-5 52

本章小结 53

总习题二 54

自测题 55

第三章 一元函数微分学的应用 58

3.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性 58

3.1.1 罗尔（Roll）中值定理与拉格朗日（Lagrange）中值定理 58

3.1.2 函数的单调性的判定 60

习题3-1 61

3.2 洛必达法则 62

3.2.1 柯西中值定理（Cauthy中值定理） 62

3.2.2 洛必达法则 63

3.2.3 其他类型未定式的极限 65

习题3-2 66

3.3 函数的极值与最大值、最小值 66

3.3.1 函数的极值及其求法 67

3.3.2 函数的最大值与最小值 69

习题3-3 70

3.4 曲线的凹凸性与拐点 70

3.4.1 曲线的凹凸性与拐点 70

3.4.2 简单的函数作图举例 72

习题3-4 74

本章小结 74

总习题三 76

自测题 76

第四章 不定积分 79

4.1 原函数与不定积分的概念 79

4.1.1 原函数 79

4.1.2 不定积分 80

4.1.3 不定积分的几何意义 81

习题4-1 81

4.2 不定积分的性质和基本积分公式 82

4.2.1 不定积分的性质 82

4.2.2 基本积分公式 82

习题4-2 85

4.3 换元积分法 85

4.3.1 第一换元积分法（凑微分法） 85

4.3.2 第二换元积分法 89

习题4-3 94

4.4 分部积分法 95

习题4-4 98

4.5 积分表的使用 98

4.5.1 积分表中能直接查到的 98

4.5.2 用递推公式 98

4.5.3 先进行变量代换，再查表 99

4.5.4 两次使用积分表 99

习题4-5 99

本章小结 100

总习题四 101

自测题 102

第五章 定积分及其应用 105

5.1 定积分的定义及性质 105

5.1.1 引例 105

5.1.2 定积分的定义 105

5.1.3 定积分的几何意义 107

5.1.4 定积分的性质 108

习题5-1 109

5.2 微积分的基本定理 109

5.2.1 变上限积分函数 109

5.2.2 牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式 111

习题5-2 112

5.3 定积分的计算 113

5.3.1 定积分的换元法 113

5.3.2 定积分的分部积分法 115

5.3.3 几个常用公式 116

习题5-3 116

5.4 广义积分 117

5.4.1 无穷限广义积分 117

5.4.2 无界函数的广义积分 119

习题5-4 120

5.5 定积分的应用 121

5.5.1 定积分的微元法 121

5.5.2 平面图形的面积 122

5.5.3 旋转体的体积 125

习题5-5 126

本章小结 126

总习题五 127

自测题 128

第六章 微分方程 132

6.1 微分方程的基本概念 132

6.1.1 微分方程 132

6.1.2 微分方程的解 133

习题6-1 134

6.2 一阶微分方程 134

6.2.1 可分离变量的微分方程 134

6.2.2 一阶线性微分方程 136

习题6-2 138

6.3 二阶常系数线性微分方程 139

6.3.1 线性相关，线性无关 139

6.3.2 二阶线性微分方程解的结构与性质 139

6.3.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 140

习题6-3 142

本章小结 143

总习题六 143

自测题 144

第七章 空间解析几何与向量代数 146

7.1 向量的概念及其线性运算 146

7.1.1 向量的概念 146

7.1.2 向量的线性运算 146

习题7-1 149

7.2 向量的坐标表示 149

7.2.1 空间直角坐标系 149

7.2.2 利用坐标作向量的线性运算 150

7.2.3 向量的模、方向角、投影 151

习题7-2 153

7.3 数量积、向量积 153

7.3.1 两向量的数量积 153

7.3.2 两向量的向量积 155

习题7-3 158

7.4 平面及其方程 158

7.4.1 平面的点法式方程 158

7.4.2 平面的一般方程 159

7.4.3 两平面所成的角 160

习题7-4 161

7.5 空间直线及其方程 162

7.5.1 空间直线的一般方程 162

7.5.2 空间直线的对称式方程与参数方程 162

7.5.3 两直线的夹角 163

7.5.4 直线与平面的夹角 164

习题7-5 164

本章小结 165

总习题七 167

自测题 168

第八章 多元函数微分学 170

8.1 多元函数 170

8.1.1 多元函数的概念 170

8.1.2 二元函数的极限 171

8.1.3 二元函数的连续性 172

习题8-1 173

8.2 偏导数 174

8.2.1 偏导数的定义及其计算法 174

8.2.2 高阶偏导数 177

习题8-2 178

8.3 全微分 178

习题8-3 181

8.4 多元复合函数与隐函数的微分法 181

8.4.1 多元复合函数的微分法 181

8.4.2 隐函数的微分法 184

习题8-4 185

8.5 偏导数的应用 186

8.5.1 偏导数的几何应用 186

8.5.2 多元函数的极值 188

习题8-5 190

本章小结 190

总习题八 191

自测题 193

第九章 二元函数积分学 196

9.1 二重积分的概念与性质 196

9.1.1 二重积分的概念 196

9.1.2 二重积分的性质 197

习题9-1 198

9.2 二重积分的计算 198

9.2.1 在直角坐标系中计算二重积分 198

9.2.2 在极坐标系中计算二重积分 201

习题9-2 204

本章小结 205

总习题九 206

自测题 207

第十章 无穷级数 209

10.1 数项级数的基本概念和性质 209

10.1.1 数项级数的基本概念 209

10.1.2 无穷级数的基本性质 211

习题10-1 212

10.2 正项级数及其审敛法 212

10.2.1 基本定理 212

10.2.2 正项级数的比较审敛法 213

10.2.3 比值审敛法 214

习题10-2 214

10.3 绝对收敛与条件收敛 215

10.3.1 交错级数及其审敛法 215

10.3.2 绝对收敛与条件收敛 215

习题10-3 216

10.4 幂级数 216

10.4.1 幂级数的概念 216

10.4.2 幂级数的收敛半径与收敛域 217

10.4.3 幂级数的性质 219

10.4.4 函数展开成泰勒级数 220

10.4.5 麦克劳林级数 221

习题10-4 223

10.5 傅里叶级数 223

10.5.1 三角函数系的正交性 223

10.5.2 傅里叶级数 224

习题10-5 227

本章小结 228

总习题十 229

自测题 231

第十一章 行列式与矩阵 233

11.1 函数 233

11.1.1 二元一次方程组与二阶行列式 233

11.1.2 n阶行列成的概念 234

习题11-1 236

11.2 行列式的性质及计算 237

11.2.1 行列式的性质 237

11.2.2 行列式的计算 241

习题11-2 242

11.3 行列式的应用 243

习题11-3 245

11.4 矩阵的概念及运算 246

11.4.1 矩阵的概念 246

11.4.2 矩阵的运算 248

习题11-4 251

11.5 可逆矩阵 252

11.5.1 可逆矩阵的概念 252

11.5.2 可逆矩阵的性质 253

11.5.3 可逆矩阵的求法 253

习题11-5 257

11.6 矩阵的初等变换 257

11.6.1 初等变换 257

11.6.2 初等矩阵 258

11.6.3 用初等变换求逆矩阵 259

11.6.4 用初等变换求矩阵的秩 259

习题11-6 260

本章小结 261

总习题十一 262

自测题 263

第十二章 线性方程组 265

12.1 消元法 265

习题12-1 268

12.2 线性方程组的可解性 268

习题12-2 270

12.3 线性规划问题的数学模型 270

12.3.1 什么是线性规划问题 270

12.3.2 数学模型一般形式 272

习题12-3 272

12.4 线性规划的图解法与单纯型法 273

12.4.1 线性规划的图解法 273

12.4.2 单纯型法简介 274

习题12-4 279

本章小结 279

总习题十二 280

自测题 280

附录 简易积分表 283