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第七章 矢量代数与空间解析几何 1

第一节 空间直角坐标系 1

一 空间直角坐标系 1

二 空间两点间的距离 3

第二节 矢量概念 3

一 矢量概念 3

二 矢量的加法 5

三 矢量的减法 6

四 数量与矢量的乘法 7

五 单位矢量 7

第三节 矢量的分解式 8

一 矢量的分解式 8

二 矢量的代数运算 10

第四节 两矢量的数积和矢积 12

一 两矢量的数积 12

二 两矢量的矢积 15

第五节 混合积与二重矢积 18

一 混合积 18

二 二重矢积 21

第六节 空间曲面与曲线方程的概念 22

一 曲面的方程 22

二 空间曲线的方程 27

第七节 空间平面与直线 31

一 平面方程 31

二 空间直线方程 38

第八节 二次曲面 42

复习题 50

习题七 51

第八章 多元函数的微分学 57

第一节 多元函数的概念 57

一 二元函数的概念 57

二 平面点集 61

三 极限与连续 62

四 n元函数的概念 65

第二节 偏导数 66

一 偏导数的概念 66

二 高阶偏导数 70

第三节 复合函数的偏导数 73

一 复合函数的偏导数 73

二 隐函数的导数 78

第四节 全微分 82

一 全微分 82

二 全微分在近似计算和误差估计中的应用 85

第五节 多元函数的极值 88

一 极值的必要条件 88

二 条件极值 90

三 多元函数的泰勒公式 94

四 极值的充分条件 96

第六节 空间曲线的切线、法平面，曲面的切平面、法线 99

一 空间曲线的切线、法平面 99

二 曲面的切平面、法线 100

复习题 104

习题八 105

第九章 二重积分、三重积分 111

第一节 二重积分的概念 111

第二节 二重积分的计算法 115

一 二重积分在直角坐标系中的计算法 115

二 二重积分在极坐标系中的计算法 120

三 曲面的面积 127

第三节 三重积分的概念 130

第四节 三重积分的计算法 131

一 三重积分在直角坐标系中的计算法 131

二 三重积分在柱面坐标系和球面坐标系中的计算法 136

第五节 无界区域上的广义重积分 143

第六节 重积分的换元公式 145

一 二重积分的换元公式 145

二 三重积分的换元公式 149

复习题 150

习题九 151

第十章 曲线积分与曲面积分 157

第一节 曲线积分 157

一 第一类曲线积分 157

二 第二类曲线积分 162

第二节 曲面积分 167

一 第一类曲面积分 167

二 第二类曲面积分 169

第三节 各种积分的关系——三个重要公式 176

一 格林公式 177

二 高斯公式 180

三 斯托克斯公式 183

等四节 曲线积分与路径无关的条件 184

一 平面上的曲线积分与路径无关的条件 185

二 空间曲线积分与路径无关的条件 192

复习题 193

习题十 194

第十一章 场论 198

第一节 数量场的梯度 199

一 等值面 199

二 方向导数 200

三 梯度 202

四 梯度与等值面的关系 203

第二节 矢量场的散度 205

一 流量 205

二 散度 206

第三节 矢量场的旋度 211

一 环流 211

二 旋度 212

等四节 无源场和势量场 216

一 无源场 216

二 势量场 218

第五节 ？算子和△算子 221

一 ？算子 221

二 △算子 223

三 调和场 224

第六节 矢量函数的微分法 224

一 矢量函数 224

二 矢量函数的导数 225

三 矢量函数的微分 227

四 矢量函数的微分法 227

第七节 ？算子的运算 229

第八节 梯度、散度、旋度和调和量在柱面坐标系及球面坐标系中的表达式 235

一 在柱面坐标系中的表达式 235

二 在球面坐标系中的表达式 236

复习题 237

习题十一 237

第十二章 级数 242

第一节 基本概念 242

一 级数的概念 242

二 级数的基本性质 245

第二节 正项级数收敛性的判定法 247

一 正项级数 247

二 正项级数收敛性的判定法 248

第三节 一般数项级数收敛性的判定法 253

一 交错级数 253

二 绝对收敛级数与条件收敛级数 254

第四节 幂级数 256

一 幂级数及其收敛半径 256

二 幂级数的性质与计算 261

第五节 函数展开成幂级数 263

一 泰勒级数 263

二 基本初等函数的幂级数展开式 265

三 幂级数展开的唯一性定理、函数展开成幂级数的其他方法 267

第六节 幂级数的应用 271

一 函数的近似公式 271

二 数值计算 273

三 积分计算 277

四 欧拉公式的导出 278

第七节 函数项级数与一致收敛性 278

一 函数项级数的基本概念 278

二 函数项级数的一致收敛概念 280

三 一致收敛级数的性质 284

四 幂级数可以逐项微分与逐项积分的证明 287

复习题 289

习题十二 290

第十三章 含参变量的积分 296

第一节 含参变量的常义积分 296

第二节 含参变量的广义积分 301

一 含参变量广义积分的一致收敛性 302

二 含参变量广义积分的连续性、可积性与可微性 303

复习题 309

习题十三 309

第十四章 傅里叶级数 311

第一节 问题的提出 311

第二节 傅里叶级数、周期函数的傅氏级数展开 313

第三节 定义在有限区间上的函数的傅氏级数展开 325

一 在区间［-l,l］上的展开式 326

二 在区间［0,l］上的展开式 327

第四节 傅里叶级数的复数形式 330

第五节 矩形域上的二元函数的傅氏级数展开 334

复习题 336

习题十四 336

第十五章 常微分方程 339

第一节 基本概念 339

第二节 可分离变量方程 345

一 可分离变量方程 345

二 齐次方程 348

第三节 一阶线性微分方程 350

一 一阶线性方程 350

二 贝努里（Bernoulli）方程 355

第四节 全微分方程与积分因子 357

一 全微分方程 357

二 积分因子 360

第五节 一阶方程初值问题的数值解 365

一 欧拉（Euler）折线法 365

二 龙格——库塔（Runge-Kutta）法 368

第六节 可降阶的二阶微分方程 370

一 d2y/dx2=f（x）型的微分方程 370

二 d2y/dx2=f（x,dy/dx）型的微分方程 372

三 d2y/dx2=f（y,dy/dx）型的微分方程 375

第七节 线性微分方程的一般理论 377

一 齐次线性微分方程通解的结构 377

二 非齐次线性微分方程解的结构的几个定理 382

第八节 常系数线性微分方程 383

一 常系数齐次线性微分方程的解法 384

二 常系数非齐次线性微分方程的解法 390

三 欧拉方程 401

四 常系数线性方程组 403

五 机械振动 404

六 R.L.C．电路中的电振荡 408

第九节 一般线性微分方程的一些解法 411

一 降阶法 411

二 常数变易法 414

三 幂级数解法 417

习题十五 420

习题答案 428