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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、集合 1

二、函数概念 3

三、函数的几种特性 7

四、反函数 8

课外阅读：函数概念的发展历史 8

习题1-1 10

第二节 初等函数 10

一、基本初等函数 10

二、复合函数 15

三、初等函数 16

习题1-2 16

第三节 数列的极限 16

一、数列的定义 17

二、数列的极限 17

三、收敛数列的性质 19

课外阅读：数学家小传——刘徽 19

习题1-3 21

第四节 函数的极限 21

一、自变量趋于有限值（x→x0）时函数的极限 21

二、自变量趋于无穷大（x→∞）时函数的极限 24

课外阅读：极限法的哲学思考 25

习题1-4 29

第五节 无穷大与无穷小 29

一、无穷小 29

二、无穷大 31

三、无穷大与无穷小的关系 31

课外阅读：数学史海览胜——第二次数学危机 32

习题1-5 33

第六节 极限运算法则 34

课外阅读：你无论如何也追不上一只乌龟 37

习题1-6 37

第七节 极限存在准则两个重要极限 38

习题1-7 42

第八节 无穷小的比较 42

习题1-8 44

第九节 函数的连续性与间断性 44

一、函数的连续性 44

二、函数的间断点 46

习题1-9 48

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 48

一、连续函数的和、差、积及商的连续性 48

二、反函数与复合函数的连续性 48

三、初等函数的连续性 50

习题1-10 51

第十一节 闭区间上连续函数的性质 51

一、最大值和最小值定理 51

二、介值定理 52

习题1-11 53

第十二节 常用经济函数 53

一、需求函数与供给函数 53

二、总成本函数、收入函数和利润函数 54

习题1-12 55

总习题一 55

第二章 导数与微分 58

第一节 导数的概念 58

一、引例 58

二、导数的定义 60

三、左、右导数 62

四、求导数举例 62

五、导数的几何意义 64

六、函数的可导性与连续性的关系 65

课外阅读：无穷小是逝去量的鬼魂吗？ 66

习题2-1 67

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 67

课外阅读：导数显示计——汽车的车速表 69

习题2-2 70

第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则 70

一、反函数的导数 70

二、复合函数的求导法则 72

习题2-3 75

第四节 初等函数的求导问题 75

一、常数和基本初等函数的导数公式 75

二、函数的和、差、积、商的求导法则 76

三、复合函数的求导法则 76

第五节 高阶导数 76

习题2-5 78

第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 79

一、隐函数的导数 79

二、由参数方程所确定的函数的导数 81

习题2-6 82

第七节 函数的微分 83

一、微分的定义 83

二、微分的几何意义 85

三、常数和基本初等函数的微分公式与微分运算法则 86

课外阅读：数学家小传——牛顿（一） 87

习题2-7 91

第八节 微分在近似计算中的应用 91

课外阅读：数学家小传——牛顿（二） 93

习题2-8 97

总习题二 97

第三章 中值定理与导数的应用 100

第一节 中值定理 100

一、罗尔（Rolle）定理 100

二、拉格朗日中值定理 101

三、柯西中值定理 102

课外阅读：数学家小传——柯西 103

习题3-1 106

第二节 洛必达法则 106

一、0/0型未定式 107

二、∞/∞型未定式 108

三、其他未定式 109

课外阅读：数学家小传——洛必达 111

习题3-2 112

第三节 函数单调性的判定法 112

课外阅读：数学家小传——拉格朗日 115

习题3-3 118

第四节 函数的极值及其求法 118

习题3-4 121

第五节 最大值与最小值问题 121

一、函数的最大值与最小值 121

二、最大值与最小值在经济问题中的应用举例 123

习题3-5 123

第六节 曲线的凹凸与拐点 124

习题3-6 126

第七节 函数图形的描绘 126

一、曲线的渐近线 126

二、函数图形的描绘 127

课外阅读：数学对其他学科和高科技的影响——杨乐（一） 128

习题3-7 134

第八节 导数在经济分析中的应用 134

一、边际分析 134

二、弹性分析 135

课外阅读：数学对其他学科和高科技的影响——杨乐（二） 136

习题3-8 139

总习题三 140

第四章 不定积分 142

第一节 不定积分的概念及性质 142

一、不定积分的概念 142

二、基本积分公式 145

三、不定积分的性质 145

课外阅读：微积分学简介 147

习题4-1 150

第二节 换元积分法 150

一、第一类换元法 151

二、第二类换元法 156

习题4-2 158

第三节 分部积分法 159

课外阅读：计算机时代的东方数学 163

习题4-3 165

总习题四 165

第五章 定积分 168

第一节 定积分的概念 168

一、定积分概念的引入 168

二、定积分定义 171

习题5-1 173

第二节 定积分的性质 中值定理 174

习题5-2 176

第三节 微积分基本公式 176

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 177

二、积分上限的函数及其导数 177

三、牛顿-莱布尼茨公式 179

习题5-3 181

第四节 定积分的换元法 182

习题5-4 186

第五节 分部积分法 187

习题5-5 188

第六节 广义积分 189

一、无穷限的广义积分 189

二、无界函数的广义积分 191

课外阅读：莱布尼茨简介 193

习题5-6 199

总习题五 200

第六章 定积分的应用 203

第一节 定积分的元素法 203

第二节 定积分在几何上的应用——求平面图形的面积 205

一、直角坐标情形 205

二、极坐标情形 207

习题6-2 209

第三节 定积分在经济问题中的应用 209

一、由经济函数的边际函数，求经济函数在区间上的增量 209

二、由经济函数的变化率（或边际函数），求经济函数在区间上的平均变化率 210

课外阅读：牛顿-莱布尼茨之争 210

习题6-3 212

总习题六 213

第七章 空间解析几何与向量代数 214

第一节 空间直角坐标系 214

一、空间直角坐标系 214

二、空间两点间的距离 215

习题7-1 216

第二节 向量及其加减法向量与数的乘法 217

一、向量的概念 217

二、向量的线性运算 217

三、向量与数的乘法 219

习题7-2 220

第三节 向量的坐标 221

一、向量在轴上的投影 221

二、向量的坐标 222

习题7-3 225

第四节 数量积 向量积 226

一、两向量的数量积 226

二、两向量的向量积 228

习题7-4 230

第五节 平面及其方程 230

一、平面的点法式方程 230

二、平面的一般方程 231

三、平面的截距式方程 232

四、两平面的夹角 233

习题7-5 234

第六节 空间直线及其方程 235

一、空间直线的一般方程 235

二、空间直线的对称式方程与参数方程 235

三、两直线的夹角 237

四、直线与平面的夹角 238

五、杂例 238

课外阅读：笛卡尔简介 239

习题7-6 241

总习题七 242

第八章 多元函数微分学 244

第一节 多元函数的概念 244

一、多元函数的概念 244

二、二元函数的极限 246

三、二元函数的连续性 248

习题8-1 250

第二节 偏导数 251

一、偏导数的概念 251

二、高阶偏导数 255

三、偏导数在经济管理中的应用 256

习题8-2 258

第三节 全微分 258

一、全微分的定义 258

二、全微分存在的必要条件 259

三、全微分存在的充分条件 260

习题8-3 261

第四节 复合函数微分法 261

习题8-4 266

第五节 隐函数微分法 266

一、由方程F（x，y）＝0所确定的隐函数y＝f（■x）的求导公式 266

二、由方程F（x，y，z）＝0所确定的隐函数z＝f（x，y）的偏导数公式 268

习题8-5 269

第六节 多元函数的极值及其求法 269

一、多元函数的极值 269

二、多元函数的最值 271

课外阅读：欧拉简介 273

习题8-6 277

总习题八 277

第九章 重积分 280

第一节 二重积分的概念和性质 280

一、二重积分的概念 280

二、二重积分的性质 281

习题9-1 282

第二节 二重积分的计算法 283

一、利用直角坐标计算二重积分 283

习题9-2（1） 285

二、利用极坐标计算二重积分 286

习题9-2（2） 287

总习题九 287

第十章 无穷级数 289

第一节 常数项级数的概念和性质 289

一、收敛级数的基本概念 289

二、收敛级数的基本性质 290

习题10-1 291

第二节 常数项级数的审敛法 291

一、正项级数及其审敛法 291

二、交错级数及其审敛法 294

三、绝对收敛与条件收敛 294

习题10-2 295

第三节 幂级数 295

一、函数项级数的概念 295

二、幂级数的收敛性 296

习题10-3 298

总习题十 298

第十一章 微分方程 300

第一节 微分方程的基本概念 300

习题11-1 302

第二节 可分离变量的微分方程 302

习题11-2 303

第三节 齐次方程 304

习题11-3 305

第四节 一阶线性微分方程 305

习题11-4 307

第五节 可降阶的高阶微分方程 307

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 307

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程 308

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程 308

习题11-5 309

第六节 高阶线性微分方程 309

一、二阶线性微分方程 309

二、线性微分方程的解的结构 310

三、二阶常系数齐次线性微分方程 310

习题11-6 311

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 311

一、f（x）＝eλxPm（x）型 312

二、f（x）＝eλx［Pl（x）cosωx＋Pn（x）sin ωx］型 312

习题11-7 313

总习题十一 313

习题答案 314

参考文献 337

后记 338