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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、实数 1

二、函数的概念 2

三、函数的几种重要特性 5

四、初等函数 6

习题1-1 7

第二节 数列的极限 8

一、数列极限的定义 8

二、收敛数列的基本性质 10

习题1-2 11

第三节 函数的极限 12

一、函数极限的定义 12

二、函数极限的基本性质 14

习题1-3 15

第四节 无穷小与无穷大 15

一、无穷小 15

二、无穷小的性质 16

三、无穷大 17

四、无穷小与无穷大的关系 18

习题1-4 18

第五节 极限运算法则 19

一、极限的四则运算法则 19

二、复合函数的极限运算法则 21

习题1-5 22

第六节 极限存在准则与两个重要极限 23

一、极限存在准则 23

二、两个重要极限 24

习题1-6 25

第七节 无穷小的比较 26

习题1-7 28

第八节 函数的连续性与间断点 28

一、函数的连续性 28

二、函数的间断点及其类型 30

习题1-8 31

第九节 初等函数的连续性及连续函数的性质 31

一、初等函数的连续性 31

二、闭区间上连续函数的性质 33

习题1-9 35

总习题1-A 35

总习题1-B 37

第二章 导数与微分 40

第一节 导数的概念 40

一、引例 40

二、导数的定义 41

三、求导数举例 42

四、导数的几何意义 44

五、可导与连续的关系 45

习题2-1 46

第二节 函数的求导法则 46

一、导数的四则运算法则 46

二、反函数的求导法则 48

三、复合函数的求导法则 49

四、基本导数公式与求导法则 51

习题2-2 52

第三节 高阶导数 52

习题2-3 55

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 56

一、隐函数的导数 56

二、对数求导法 57

三、由参数方程所确定的函数的导数 58

四、相关变化率 59

习题2-4 61

第五节 函数的微分 62

一、微分的概念 62

二、微分的几何意义 63

三、微分公式与微分运算法则 64

四、微分在近似计算中的应用 65

习题2-5 66

总习题2-A 66

总习题2-B 68

第三章 微分中值定理与导数的应用 71

第一节 微分中值定理 71

一、罗尔中值定理 71

二、拉格朗日中值定理 72

三、柯西中值定理 74

习题3-1 75

第二节 洛必达法则 75

一、0/0型未定式的洛必达法则 75

二、∞/∞型未定式的洛必达法则 77

三、其他类型的未定式 78

习题3-2 79

第三节 泰勒公式 79

习题3-3 83

第四节 函数的单调性 83

习题3-4 85

第五节 函数的极值与最大值最小值 86

一、函数的极值及其求法 86

二、最大值最小值及其应用 89

习题3-5 90

第六节 曲线的凹凸性与拐点 91

习题3-6 93

第七节 函数图形的描绘 93

一、曲线的渐近线 93

二、函数图形的描绘 95

习题3-7 96

总习题3-A 97

总习题3-B 98

第四章 不定积分 101

第一节 不定积分的概念与性质 101

一、原函数与不定积分的概念 101

二、不定积分的性质和基本积分公式 103

习题4-1 105

第二节 换元积分法 106

一、第一类换元法 106

二、第二类换元法 109

习题4-2 112

第三节 分部积分法 113

习题4-3 116

第四节 有理函数及可化为有理函数的积分举例 117

一、有理函数的积分举例 117

二、三角函数有理式的积分举例 119

三、简单无理函数的积分举例 120

习题4-4 121

总习题4-A 121

总习题4-B 123

第五章 定积分及其应用 126

第一节 定积分的概念与性质 126

一、引例 126

二、定积分的定义 128

三、定积分的几何意义 129

四、定积分的性质 130

习题5-1 132

第二节 微积分基本定理 133

一、积分上限的函数及其导数 133

二、微积分基本定理 135

习题5-2 137

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 138

一、定积分的换元积分法 138

二、定积分的分部积分法 141

习题5-3 143

第四节 反常积分 144

一、无穷限的反常积分 144

二、无界函数的反常积分 146

习题5-4 147

第五节 定积分的应用 148

一、定积分的元素法 148

二、定积分在几何学上的应用 149

三、定积分在物理学上的应用 156

习题5-5 158

总习题5-A 159

总习题5-B 161

第六章 微分方程 164

第一节 微分方程的基本概念 164

习题6-1 167

第二节 可分离变量的微分方程 167

习题6-2 170

第三节 一阶齐次方程 170

习题6-3 173

第四节 一阶线性微分方程 173

一、一阶线性微分方程 173

二、伯努利方程 176

习题6-4 177

第五节 可降阶的高阶微分方程 178

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 178

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程 179

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程 180

习题6-5 181

第六节 二阶线性微分方程 182

一、二阶线性微分方程解的结构 182

二、二阶常系数齐次线性微分方程 184

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 187

习题6-6 190

总习题6-A 191

总习题6-B 193

习题答案与提示 195

附录1 常用基本三角公式 216

附录2 几种常用曲线 217

参考文献 220