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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 走进高等数学 1

习题1-1 2

1.2 函数 2

1.2.1 集合 2

1.2.2 函数 6

习题1-2 16

1.3 数列极限 17

1.3.1 数列的概念 17

1.3.2 收敛数列的性质 20

习题1-3 21

1.4 函数的极限 21

1.4.1 x→x0时f（x）的极限 21

1.4.2 x→∞时f（x）的极限 23

1.4.3 函数极限的性质 25

习题1-4 26

1.5 无穷大与无穷小及无穷小的运算 26

1.5.1 无穷大 27

1.5.2 无穷小 28

1.5.3 无穷小与无穷大的关系 28

1.5.4 无穷小的运算 29

习题1-5 30

1.6 极限运算法则 31

习题1-6 34

1.7 极限存在准则与两个重要极限 35

1.7.1 准则Ⅰ与极限lim x→0 sinx/x＝1 36

1.7.2 准则Ⅱ与极限lim n→∞（1＋1/n）n＝e 38

1.7.3 两个重要极限的变形及推广 39

习题1-7 42

1.8 函数的连续与间断 43

1.8.1 函数连续 43

1.8.2 函数间断 44

习题1-8 47

1.9 连续函数的运算与性质 48

1.9.1 连续函数的四则运算 48

1.9.2 反函数与复合函数的连续性 48

1.9.3 初等函数的连续性 50

1.9.4 闭区间上连续函数的性质 50

习题1-9 52

第2章 导数与微分 54

2.1 导数的概念 54

2.1.1 引例 54

2.1.2 定义 55

2.1.3 导数求解示例 56

2.1.4 可导与连续的关系 59

习题2-1 59

2.2 求导法则 59

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 60

2.2.2 反函数的导数 61

2.2.3 复合函数的求导法则 62

2.2.4 求导法则与求导公式的归纳 64

习题2-2 65

2.3 函数曲线的切线方程与函数相关变化率 66

2.3.1 函数曲线的切线与法线方程 66

2.3.2 函数相关变化率 67

习题2-3 69

2.4 高阶导数 69

习题2-4 71

2.5 隐函数、幂指函数及由参数方程确定的函数的导数 71

2.5.1 隐函数的求导 72

2.5.2 幂指函数等的求导 73

2.5.3 由参数方程确定的函数的求导 74

习题2-5 74

2.6 函数的微分 75

2.6.1 微分的概念 75

2.6.2 微分的几何意义 77

2.6.3 微分公式与微分法则的归纳 77

2.6.4 微分的应用 80

习题2-6 82

第3章 微分中值定理与导数的应用 84

3.1 微分中值定理 84

3.1.1 罗尔定理 84

3.1.2 拉格朗日中值定理 86

3.1.3 柯西中值定理 88

习题3-1 89

3.2 洛必达法则 90

习题3-2 94

3.3 泰勒中值定理 94

习题3-3 98

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 99

3.4.1 函数单调性的判定法 99

3.4.2 函数凹凸性与拐点的判定法 101

习题3-4 104

3.5 函数的极值与最大值、最小值 105

3.5.1 函数的极值及其求法 105

3.5.2 函数的最大值、最小值问题 108

习题3-5 110

3.6 函数图形的描绘 111

习题3-6 115

3.7 曲率 115

3.7.1 弧微分 115

3.7.2 曲率及其计算公式 116

习题3-7 119

第4章 不定积分 120

4.1 不定积分的概念与性质 120

4.1.1 原函数与不定积分 120

4.1.2 基本积分公式 123

4.1.3 不定积分的性质及初步积分法示例 123

习题4-1 125

4.2 换元积分法 126

4.2.1 第一类换元法 126

4.2.2 第二类换元法 131

习题4-2 135

4.3 分部积分法 137

习题4-3 140

4.4 几种特殊类型函数的积分 141

4.4.1 有理函数的积分 141

4.4.2 三角函数有理式的积分 142

4.4.3 简单无理函数的积分 143

习题4-4 144

第5章 定积分及其应用 145

5.1 定积分的概念 145

5.1.1 引例 145

5.1.2 定积分定义 147

习题5-1 149

5.2 定积分的性质 150

习题5-2 153

5.3 微积分基本公式 154

5.3.1 寻找轻松计算定积分的途径 154

5.3.2 积分上限的函数及其导数 154

5.3.3 牛顿-莱布尼茨公式 156

习题5-3 159

5.4 定积分的换元法与分部积分法 160

5.4.1 定积分的换元法 160

5.4.2 定积分的分部积分法 163

习题5-4 165

5.5 反常积分初步 166

5.5.1 积分区间为无穷区间的反常积分 166

5.5.2 无界函数的反常积分 168

习题5-5 169

5.6 定积分的应用 169

5.6.1 元素法 170

5.6.2 平面图形的面积 171

5.6.3 体积 173

5.6.4 平面曲线的弧长 175

5.6.5 功 176

习题5-6 177

第6章 常微分方程初步 178

6.1 微分方程的基本概念 178

习题6-1 180

6.2 可分离变量的微分方程 181

6.2.1 可分离变量的微分方程 181

6.2.2 齐次方程 182

习题6-2 183

6.3 一阶线性微分方程 184

习题6-3 185

第7章 多元函数微积分 186

7.1 空间解析几何简介 186

7.1.1 空间直角坐标系 186

7.1.2 空间两点间的距离 187

7.1.3 曲面及其方程 187

习题7-1 191

7.2 多元函数的概念、极限和连续 192

7.2.1 平面区域 192

7.2.2 多元函数的概念 192

7.2.3 二元函数的极限 194

7.2.4 二元函数的连续性 195

习题7-2 196

7.3 偏导数 197

7.3.1 偏导数的概念及其计算 197

7.3.2 偏导数的几何意义 199

7.3.3 高阶偏导数 200

习题7-3 201

7.4 全微分 202

习题7-4 205

7.5 多元复合函数求导法则与隐函数求导公式 206

7.5.1 多元复合函数求导法则 206

7.5.2 全微分形式的不变性 208

7.5.3 隐函数求导法则 209

习题7-5 211

7.6 多元函数的极值及其求法 213

7.6.1 二元函数极值的概念 213

7.6.2 条件极值与拉格朗日乘数法 215

习题7-6 216

7.7 二重积分的概念与性质 218

7.7.1 二重积分的概念 218

7.7.2 二重积分的几何意义 220

7.7.3 二重积分的性质 220

习题7-7 221

7.8 直角坐标系下二重积分的计算 223

7.8.1 直角坐标系下积分区域的描述 223

7.8.2 直角坐标系下二重积分的计算 224

7.8.3 交换二次积分的积分次序 227

7.8.4 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 229

习题7-8 230

7.9 极坐标系下二重积分的计算 233

7.9.1 极坐标的概念 233

7.9.2 利用极坐标计算二重积分 234

习题7-9 238

第8章 无穷级数 241

8.1 常数项级数的概念和性质 241

8.1.1 常数项级数的概念 241

8.1.2 收敛级数的基本性质 243

习题8-1 246

8.2 正项级数 247

8.2.1 正项级数收敛的充要条件 247

8.2.2 正项级数的比较审敛法 248

8.2.3 正项级数的比值审敛法与根值审敛法 250

习题8-2 252

8.3 一般常数项级数 254

8.3.1 交错级数 254

8.3.2 绝对收敛与条件收敛 255

习题8-3 257

8.4 幂级数 259

8.4.1 函数项级数的概念 259

8.4.2 幂级数及其敛散性 259

8.4.3 幂级数的运算 263

习题8-4 265

8.5 函数展开成幂级数 266

8.5.1 泰勒级数 266

8.5.2 函数展开成幂级数的方法 267

8.5.3 函数幂级数展开式的应用 271

习题8-5 272

附录 275

附录Ⅰ 中学数学公式 275

附录Ⅱ 常用曲线 279

附录Ⅲ 常用曲面 283

附录Ⅳ 全国统一考试高等数学（B）考试大纲 287

习题答案与提示 291

参考文献 312