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第1章 函数 1

1.1 预备知识 1

1.1.1 变量与区间 1

1.1.2 绝对值与邻域 2

1.2 函数概念 3

1.2.1 函数的定义 3

1.2.2 函数的表示法 4

1.3 函数的性质 6

1.3.1 有界性 6

1.3.2 单调性 6

1.3.3 奇偶性 7

1.3.4 周期性 8

1.4 反函数 9

1.5 复合函数 10

1.6 初等函数 11

1.6.1 基本初等函数 11

1.6.2 初等函数 15

习题1 16

阅读材料1函数是什么 18

第2章 极限与连续 21

2.1 数列的极限 21

2.1.1 数列的概念 21

2.1.2 数列极限实例 22

2.1.3 数列极限的概念 22

2.1.4 收敛数列的性质 25

2.2 函数的极限 26

2.2.1 x→∞时，函数f（x）的极限 26

2.2.2 x→x0时，函数f（x）的极限 27

2.2.3 函数极限的性质 30

2.3 无穷小与无穷大 31

2.3.1 无穷小 31

2.3.2 无穷大 33

2.3.3 无穷小与无穷大的关系 34

2.4 极限的四则运算法则 35

2.5 极限存在准则与两个重要极限 39

2.5.1 准则Ⅰ（夹逼定理） 39

2.5.2 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 40

2.5.3 两个重要极限 42

2.6 无穷小的比较 44

2.6.1 无穷小阶的定义 45

2.6.2 等价无穷小的性质 45

2.7 函数的连续性与间断点 47

2.7.1 函数在一点的连续性 47

2.7.2 区间上的连续函数 49

2.7.3 函数的间断点 49

2.8 连续函数的运算与初等函数的连续性 51

2.8.1 连续函数的和、差、积、商的连续性 51

2.8.2 反函数的连续性 52

2.8.3 复合函数的连续性 52

2.8.4 初等函数的连续性 53

2.9 闭区间上连续函数的性质 54

2.9.1 最大值与最小值定理与有界性定理 54

2.9.2 零点定理与介值定理 55

习题2 57

阅读材料2认识无限 61

第3章 导数与微分 63

3.1 导数的概念 63

3.1.1 引例 63

3.1.2 导数定义 64

3.1.3 导数的几何意义 66

3.1.4 函数的可导性与连续性的关系 67

3.2 基本初等函数的导数公式 68

3.2.1 常函数的导数 68

3.2.2 幂函数的导数 68

3.2.3 指数函数的导数 69

3.2.4 对数函数的导数 69

3.2.5 三角函数的导数 69

3.2.6 反三角函数的导数 69

3.3 函数的求导法则 70

3.3.1 函数和、差、积、商的求导法则 70

3.3.2 反函数的导数 72

3.3.3 复合函数的求导法则 73

3.4 高阶导数 76

3.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 78

3.5.1 隐函数的导数 78

3.5.2 由参数方程所确定的函数的导数 80

3.6 函数的微分 81

3.6.1 微分的定义 82

3.6.2 微分的几何意义 84

3.6.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 84

3.6.4 函数的近似计算 86

习题3 87

阅读材料3微积分的创立 90

第4章 微分中值定理与导数的应用 92

4.1 微分中值定理 92

4.1.1 罗尔定理 92

4.1.2 拉格朗日中值定理 94

4.1.3 柯西中值定理 96

4.2 洛必达法则 97

4.2.1 0/0型未定式 98

4.2.2 ∞/∞型未定式 100

4.2.3 其他类型未定式 101

4.3 函数单调性的判别法 102

4.3.1 函数单调的必要条件 103

4.3.2 函数单调性的判别法 103

4.4 函数的极值与最值 105

4.4.1 极值 105

4.4.2 最大值和最小值 108

4.5 曲线的凹凸性与拐点 110

4.5.1 曲线凹凸性的定义 110

4.5.2 曲线凹凸性的判别法 111

4.5.3 拐点 112

4.6 函数图形的描绘 113

4.6.1 渐近线 113

4.6.2 函数图形的描绘 115

习题4 117

阅读材料4牛顿 121

第5章 不定积分 122

5.1 不定积分的概念与性质 122

5.1.1 原函数和不定积分的定义 122

5.1.2 不定积分的几何意义 123

5.1.3 不定积分的性质 124

5.1.4 基本积分表 124

5.2 换元积分法 127

5.2.1 第一类换元法 127

5.2.2 第二类换元法 132

5.3 分部积分法 137

5.4 几种特殊类型函数的积分 140

5.4.1 有理函数的不定积分 140

5.4.2 三角函数有理式的积分 143

5.4.3 简单根式的积分 144

习题5 145

阅读材料5莱布尼茨 148

第6章 定积分及其应用 149

6.1 定积分的概念与性质 149

6.1.1 定积分问题举例 149

6.1.2 定积分的定义 151

6.1.3 定积分的几何意义 153

6.1.4 定积分的性质 154

6.2 微积分基本公式 157

6.2.1 积分上限的函数 158

6.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 160

6.3 定积分的换元积分法与分部积分法 161

6.3.1 定积分的换元积分法 161

6.3.2 定积分的分部积分法 164

6.4 广义积分 165

6.4.1 无穷区间上的广义积分 165

6.4.2 无界函数的广义积分 167

6.5 定积分的应用 169

6.5.1 定积分的元素法 169

6.5.2 平面图形的面积 170

6.5.3 立体的体积 175

6.5.4 平面曲线的弧长 178

习题6 179

阅读材料6微积分的发明权之争 184

第7章 微分方程 185

7.1 微分方程的基本概念 185

7.1.1 微分方程的定义 185

7.1.2 微分方程的解 186

7.2 一阶微分方程 187

7.2.1 可分离变量的微分方程 188

7.2.2 齐次方程 188

7.2.3 一阶线性微分方程 190

7.3 可降阶的高阶微分方程 192

7.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 192

7.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 192

7.3.3 y＝f（y，y′）型的微分方程 193

7.4 二阶线性微分方程解的结构 194

7.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构 194

7.4.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构 195

7.5 二阶线性常系数齐次微分方程 196

7.6 二阶线性常系数非齐次微分方程 199

习题7 203

阅读材料7三次数学危机 207

附录 常用的初等代数公式与基本三角公式 209

参考文献 211