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第1章 数列极限 1

1.1 数列极限的定义与基本性质 1

1.1.1 数列极限的定义 1

1.1.2 数列极限定义的应用 4

1.1.3 收敛数列的性质 10

1.1.4 数列极限的运算法则 14

1.1.5 无穷小量及其运算性质 21

1.1.6 趋向于无穷大的数列 21

1.2 单调有界定理与应用 24

1.2.1 单调有界定理 24

1.2.2 两个典型单调数列 26

1.2.3 单调数列综合例题 29

1.3 闭区间套定理与应用 33

1.3.1 闭区间套定理 33

1.3.2 闭区间套定理的应用 34

1.4 柯西收敛准则及其应用 36

1.4.1 列紧性定理 36

1.4.2 柯西收敛准则 37

1.4.3 柯西收敛准则的应用 39

1.5 确界存在定理与应用 42

1.5.1 确界存在定理 42

1.5.2 确界存在定理的应用 44

1.6 有限覆盖定理 46

1.7 实数系六个定理的等价性讨论 47

1.7.1 实数的连续与完备性讨论 47

1.7.2 无理数集合、有理数集合与实数集合的进一步讨论 51

1.8 数列的上下极限与应用 52

1.9 施笃兹定理与应用 56

1.9.1 施笃兹定理 56

1.9.2 施笃兹定理的应用 58

1.10 综合例题选讲 59

1.11 提高课 64

1.12 探索类问题 72

第2章 函数极限与连续 77

2.1 集合 77

2.1.1 集合的定义 77

2.1.2 集合的基本术语 78

2.1.3 集合的势的定义与基本性质 83

2.2 初等函数的讨论 87

2.2.1 初等函数回顾 87

2.2.2 函数曲线的数学描述 89

2.2.3 函数曲线与数学建模 90

2.2.4 函数基本性质讨论 91

2.3 函数极限的定义与基本理论 94

2.3.1 函数极限的定义 94

2.3.2 函数极限的基本性质 98

2.3.3 函数极限的四则运算与夹逼定理 101

2.3.4 复合函数的极限 103

2.3.5 典型例题 104

2.3.6 海涅原理 107

2.3.7 柯西收敛定理 109

2.4 连续函数 112

2.4.1 连续函数与间断点分类 112

2.4.2 函数的间断点类型分析 115

2.4.3 连续函数的应用：函数极限求解与函数方程 117

2.5 函数极限的其他形式与结论 120

2.5.1 单侧极限 120

2.5.2 自变量趋向于无穷大时函数的极限 122

2.5 3典型例题 127

2.6 一致连续函数 133

2.6.1 函数一致连续的定义 133

2.6.2 函数一致连续典型例题 137

2.7 收敛速度讨论：无穷小与无穷大阶的比较 140

2.7.1 无穷小阶的比较 140

2.7.2 无穷小阶的运算性质 143

2.7.3 无穷大阶的比较 145

2.8 有限闭区间上连续函数的整体性质 148

2.8.1 有限闭区间上连续函数的性质 148

2.8.2 连续函数性质的进一步讨论 153

2.9 综合例题选讲 156

2.10 提高课 162

2.10.1 有限覆盖定理的进一步认识 162

2.10.2 连续函数的不动点定理以及应用 164

2.11 探索类问题 167

第3章 导数的计算与应用 173

3.1 导数的定义与计算 173

3.1.1 导数的定义 173

3.1.2 导数的四则运算法则 176

3.1.3 四则运算应用举例 177

3.1.4 复合函数逐层外推求导定理 178

3.1.5 复合函数逐层外推求导计算例题 179

3.1.6 反函数求导法则与应用 181

3.2 高阶导数 182

3.2.1 高阶导数的定义与计算 182

3.2.2 莱布尼茨求导公式与应用 184

3.2.3 高阶导数的计算 184

3.3 隐函数和参数方程的求导 186

3.4 微分中值定理 188

3.4.1 罗尔定理证明 188

3.4.2 罗尔定理应用 189

3.4.3 拉格朗日中值定理证明 191

3.4.4 拉格朗日中值定理应用 193

3.4.5 柯西中值定理 194

3.4.6 柯西中值定理应用 195

3.5 函数的单调性 197

3.5.1 函数单调性判定定理 197

3.5.2 函数单调区间分析应用例题 198

3.6 极值问题 200

3.6.1 极值问题判定定理 200

3.6.2 极值问题求解 201

3.6.3 函数的最大最小值 203

3.7 凹凸函数 206

3.7.1 函数凹凸的定义及詹森定理 206

3.7.2 凹凸函数的判定定理 207

3.7.3 凹凸函数应用 210

3.8 洛必达法则 213

3.8.1 洛必达法则 213

3.8.2 洛必达法则应用 215

3.9 函数作图 217

3.10 综合例题选讲 219

3.11 提高课 223

3.11.1 数学建模：彩虹现象 223

3.11.2 数学建模：罐子设计 225

3.11.3 方程求根 227

3.11.4 几类特殊函数性质的讨论 231

3.12 探索类问题 236

第4章 泰勒公式 239

4.1 微分的定义与运算性质 239

4.1.1 微分的定义与计算 239

4.1.2 高阶微分的定义与计算 242

4.1.3 微分的应用：近似计算 243

4.2 带佩亚诺型余项的泰勒公式 243

4.2.1 带佩亚诺型余项的泰勒公式 243

4.2.2 常用函数的泰勒展开（佩亚诺型余项） 245

4.2.3 泰勒公式局部逼近 247

4.2.4 函数的泰勒渐近展开 248

4.3 带拉格朗日余项的泰勒公式 250

4.3.1 带拉格朗日余项的泰勒公式 250

4.3.2 泰勒公式的应用 252

4.3.3 泰勒公式典型例题 255

4.4 综合例题选讲 258

4.5 提高课 261

4.5.1 泰勒公式在科学计算中的应用 261

4.5.2 拉格朗日插值逼近 264

4.6 探索类问题 266

第5章 不定积分 269

5.1 不定积分的定义与基本性质 269

5.2 第一类换元公式与应用 271

5.3 分部积分公式与应用 276

5.4 第二类换元公式与应用 278

5.5 几类特殊函数的不定积分 282

5.5.1 有理函数的不定积分 283

5.5.2 三角函数有理式的不定积分 286

5.5.3 无理根式的不定积分 287

5.6 综合例题选讲 289

5.7 探索类问题 295

第6章 定积分 297

6.1 定积分的定义与基本运算性质 297

6.2 函数可积性讨论 303

6.2.1 函数可积定理 303

6.2.2 可积函数类 310

6.3 微积分基本定理 318

6.3.1 牛顿-莱布尼茨公式 318

6.3.2 微积分基本定理 320

6.4 定积分的计算 325

6.4.1 定积分的分部积分公式 325

6.4.2 定积分的换元公式 329

6.5 定积分中值定理 335

6.5.1 定积分第一中值定理 335

6.5.2 定积分第二中值定理 337

6.5.3 定积分第三中值定理 340

6.6 勒贝格定理 341

6.6.1 勒贝格定理 341

6.6.2 勒贝格定理的应用 343

6.7 综合例题选讲 345

6.8 提高课 352

6.8.1 积分算子的应用：函数的磨光 352

6.8.2 定积分的数值计算 356

6.8.3 勒贝格积分初步 363

6.9 探索类问题 367

第7章 定积分的应用 370

7.1 定积分解决实际问题的一般方法 370

7.2 平面图形面积的计算 371

7.2.1 直角坐标系下图形面积计算 371

7.2.2 参数方程表示的曲线围成平面图形的面积 373

7.2.3 极坐标系下平面图形面积的计算 375

7.3 旋转曲面面积的计算 377

7.4 旋转体体积的计算方法 383

7.5 曲线的弧长 388

7.6 平面曲线的曲率 391

7.7 定积分的物理应用 393

7.7.1 变力做功与压力压强 393

7.7.2 液体的压力与压强 394

7.7.3 引力问题 395

7.7.4 力矩和质心 397

7.8 探索类问题 399

第8章 广义积分 401

8.1 无穷积分的基本概念与性质 401

8.1.1 无穷积分的定义 401

8.1.2 无穷积分的计算 405

8.2 无穷积分敛散性的判别方法 408

8.2.1 无穷区间上非负函数积分的敛散性判别 408

8.2.2 无穷积分的狄利克雷和阿贝尔判定定理 412

8.3 瑕积分 419

8.4 综合例题选讲 428

8.5 探索类问题 431

第9章 数项级数 433

9.1 数项级数的基本概念与性质 433

9.1.1 数项级数的概念 433

9.1.2 数项级数的性质 434

9.2 正项级数 439

9.2.1 正项级数的比较判别法 439

9.2.2 正项级数的柯西积分判别法 443

9.2.3 正项级数的柯西判别法 446

9.2.4 正项级数的达朗贝尔判别法 448

9.2.5 正项级数的拉贝判别法 451

9.3 一般级数收敛问题讨论 455

9.3.1 交错级数 455

9.3.2 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 456

9.3.3 绝对收敛和条件收敛级数 460

9.3.4 绝对收敛级数的性质 464

9.3.5 广义积分与数项级数 467

9.4 综合例题选讲 469

9.5 提高课 473

9.5.1 级数的乘法 473

9.5.2 无穷乘积 476

9.6 探索类问题 480

参考文献 482