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第1章 绪论 1

1.1 数值逼近概述 1

1.1.1 数值逼近简介 1

1.1.2 数值分析内容及特点 2

1.1.3 截断与四舍五入 2

1.2 应用举例 3

1.3 Weierstrass定理 4

1.3.1 第一定理 4

1.3.2 第二定理 5

练习题1 5

第2章 误差和有效数字 7

2.1 绝对误差和相对误差 7

2.1.1 绝对误差 7

2.1.2 相对误差 8

2.2 有效数字 9

2.2.1 有效数字的提出 9

2.2.2 有效数字与绝对误差、相对误差的关系 10

2.3 误差 11

2.3.1 误差的来源 11

2.3.2 数值运算的误差估计 12

2.3.3 数值算法设计的若干原则 13

练习题2 15

第3章 插值方法 17

3.1 多项式插值 17

3.1.1 插值问题的提出 17

3.1.2 多项式插值解的唯一性 18

3.2 Lagrange插值 18

3.2.1 线性插值 18

3.2.2 抛物线插值 19

3.2.3 Lagrange插值多项式 20

3.3 差商与Newton插值多项式 21

3.3.1 差商 21

3.3.2 Newton插值多项式 22

3.4 插值多项式余项 24

3.4.1 Lagrange插值余项 24

3.4.2 Newton插值余项 26

3.4.3 反插值 27

3.5 有限差分计算 28

3.5.1 向前差分 28

3.5.2 差商、差分和导数的关系 29

3.5.3 向后差分与中心差分 30

3.6 等距节点上的插值公式 31

3.6.1 Newton向前插值多项式 31

3.6.2 Newton向后插值多项式 32

3.7 Hermite插值多项式 33

3.7.1 重节点差商 33

3.7.2 Hermite插值 34

3.7.3 Newton形式的Hermite插值多项式 37

3.7.4 两个典型的Hermite插值 38

3.8 分段低次插值 39

3.8.1 多项式插值的Runge现象 39

3.8.2 分段线性插值 40

3.8.3 分段三次Hermite插值 42

3.9 三次Spline插值 43

3.9.1 三次Spline插值问题的提法及常见边界条件 43

3.9.2 三次Spline插值函数的求法 44

练习题3 49

第4章 平方逼近 51

4.1 最小二乘法 51

4.1.1 数据的最小二乘拟合 51

4.1.2 法方程组 53

4.1.3 内积形式的法方程组 56

4.1.4 超定、欠定、适定方程组 57

4.2 非线性数据拟合 58

4.2.1 问题的提出 58

4.2.2 范数 60

4.2.3 内积空间及函数的范数 62

4.3 函数的最佳平方逼近 63

4.3.1 最佳平方逼近函数 63

4.3.2 函数组的线性相关性 64

4.4 正交多项式 66

4.4.1 正交多项式的概念及计算 66

4.4.2 常用的正交多项式 67

4.4.3 用正交函数组作最佳平方逼近 71

练习题4 74

第5章 数值积分和数值微分 76

5.1 引言 76

5.1.1 数值积分的基本思想 76

5.1.2 代数精度 77

5.1.3 插值型求积公式 78

5.2 Newton-Cotes公式 79

5.2.1 几种低阶求积公式 79

5.2.2 Newton-Cotes公式 82

5.3 复化求积公式 84

5.3.1 复化梯形公式 84

5.3.2 复化Simpson公式 85

5.3.3 复化Cotes公式 86

5.4 Romberg积分法 87

5.4.1 Richardson外推算法 87

5.4.2 Romberg算法 88

5.5 Gauss型求积公式 89

5.5.1 最高阶代数精度求积公式 89

5.5.2 几个常用的Gauss型求积公式 91

5.5.3 Gauss-Legendre求积公式 92

5.5.4 Gauss公式的稳定性 94

5.6 数值微分 94

5.6.1 数值微分的概念 94

5.6.2 插值型求导公式 95

练习题5 97

第6章 函数方程求根 99

6.1 二分法 99

6.1.1 问题的提出 99

6.1.2 二分法 100

6.2 不动点迭代 101

6.2.1 不动点和不动点迭代法 101

6.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 102

6.2.3 收敛速度 104

6.3 Newton迭代法 105

6.3.1 Newton迭代法的基本思想 105

6.3.2 Newton迭代法的收敛速度 106

6.4 弦截法和重根的计算 106

6.4.1弦截法 106

6.4.2重根情况下改进Newton法 107

练习题6 108

附录A 实验指导 109

A.1 引言 109

A.2 Lagrange插值 109

A.3 Newton插值 110

A.4 Newton等距插值 111

A.5 Runge现象 111

A.6 Newton向后插值 112

A.7 对数拟合 113

A.8 复化积分公式 113

A.9 逐步搜索法 114

A.10 二分法 115

A.11 不动点迭代 115

A.12 割线法 116

数值实验练习题 116

附录B Matlab算法初步 118

B.1 Matlab简介 118

B.2 Matlab基本用法 118

B.3 矩阵基本操作 123

B.4 Matlab绘图 130

B.5 流程控制 136

参考文献 140