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第一章 极限与连续 1

1.1 预备知识 1

1.1.1 常用的数学符号 1

1.1.2 集合 1

1）集合的基本概念 3

2）集合的并、交、差运算 3

3）常用的数集 3

4）邻域 3

1.1.3 数学归纳法 3

1.1.4 极坐标系 4

1.1.5 映射与函数 5

1.1.6 初等函数 6

1.1.7 实数基本定理 8

习题1.1 9

1.2 极限 10

1.2.1 数列的极限 10

1.2.2 函数的极限 15

1.2.3 无穷小量 19

1.2.4 极限的运算法则 21

1）极限的四则运算法则 24

2）极限的变量代换法则 24

习题1.2 （1） 24

1.2.5 极限的存在准则·实数基本定理（续） 25

1.2.6 两个基本极限 30

1）基本极限Ⅰ 33

2）基本极限Ⅱ 33

1.2.7 无穷小量的阶与主部 33

习题1.2 （2） 35

1.3 连续函数 36

1.3.1 连续与间断概念 36

1.3.2 连续函数的运算法则 39

1.3.3 连续函数的性质·一致连续性 42

习题1.3 45

复习题一 46

第二章 导数与微分 48

2.1 导数 48

2.1.1 速度与切线问题 48

2.1.2 导数的定义 49

2.1.3 求导法则 52

1）导数的四则运算法则 57

2）反函数求导法则 57

3）复合函数求导法则 57

4）隐函数求导法则 57

5）参数式函数求导法则 57

6）取对数求导法则 57

2.1.4 导数基本公式表 57

2.1.5 高阶导数 58

习题2.1 60

2.2 微分 62

2.2.1 微分概念 62

2.2.2 微分的应用 64

2.2.3 高阶微分 65

习题2.2 66

2.3 微分学中值定理 67

2.3.1 中值定理 67

2.3.2 泰勒公式 70

2.3.3 常用的马克劳林展式 72

习题2.3 74

2.4 导数的应用 76

2.4.1 未定式的极限 76

习题2.4 （1） 81

2.4.2 函数的单调性与极值 82

2.4.3 最大值与最小值 85

2.4.4 凹凸性与拐点 86

2.4.5 渐近线 89

1）铅直渐近线 91

2）水平渐近线 91

3）斜渐近线 91

2.4.6 函数作图 91

习题2.4 （2） 93

2.4.7 求函数零点的数值方法 95

1）二分法 97

2）牛顿法 97

习题2.4 （3） 97

复习题二 98

第三章 不定积分与定积分 100

3.1 不定积分 100

3.1.1 不定积分概念 100

3.1.2 积分基本公式表 102

3.1.3 换元积分法 102

3.1.4 分部积分法 106

习题3.1 （1） 108

3.1.5 有理函数的积分 110

3.1.6 三角函数有理式的积分 113

3.1.7 简单无理函数的积分 114

3.1.8 原函数非初等函数的积分 115

习题3.1 （2） 116

3.2 定积分 117

3.2.1 定积分的定义 117

3.2.2 函数的可积性 120

1）可积的充要条件 123

2）可积函数类 123

3.2.3 定积分的性质·积分中值定理 123

习题3.2 （1） 126

3.2.4 定积分的计算 127

1）原函数存在定理 136

2）牛顿-莱布尼兹公式 136

3）换元积分法 136

4）定积分的性质（续） 136

5）分部积分法 136

3.2.5 数值积分方法 136

1）梯形法 138

2）辛普森（Simpson）法 138

习题3.2 （2） 138

3.3 定积分的应用 140

3.3.1 微元法 140

3.3.2 定积分在几何上的应用 141

1）平面图形的面积 150

2）横截面面积可求的立体体积 150

3）平面曲线的弧长 150

4）旋转曲面的面积 150

5）平面曲线的曲率 150

3.3.3 定积分在物理上的应用 150

1）引力，压力，功 153

2）平面曲线段的质心与形心 153

3）转动惯量 153

习题3.3 153

3.4 广义积分 155

3.4.1 两类广义积分的定义 155

3.4.2 两类广义积分的计算 157

3.4.3 广义积分与定积分的关系 159

3.4.4 Γ函数 160

习题3.4 161

复习题三 162

第四章 空间解析几何 164

4.1 行列式与向量代数 164

4.1.1 二阶与三阶行列式 164

1）二阶行列式 166

2）三阶行列式 166

4.1.2 空间直角坐标系 166

4.1.3 三维空间向量的几何性质 167

4.1.4 三维空间向量的代数运算 169

1）向量的加法与数乘 180

2）向量的数量积（内积） 180

3）向量的向量积 180

4）向量的混合积 180

习题4.1 180

4.2 平面与直线 181

4.2.1 平面的方程 181

4.2.2 直线的方程 184

4.2.3 直线与平面的关系 188

4.2.4 平面束 189

习题4.2 190

4.3 空间曲面 191

4.3.1 球面 191

4.3.2 柱面 192

4.3.3 锥面 193

4.3.4 旋转曲面 194

4.3.5 坐标变换 196

1）平移变换 198

2）旋转变换 198

4.3.6 二次曲面的标准方程 198

习题4.3 199

4.4 空间曲线 200

4.4.1 空间曲线的一般式方程 200

4.4.2 空间曲线的向量式方程 201

4.4.3 空间曲线在坐标平面上的投影 201

习题4.4 202

复习题四 203

附录 204

附录Ⅰ 圆周率与圆的面积 204

附录Ⅱ多项式 206

习题答案与提示（复习题简解） 210