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第7章 多元函数微分及其应用 1

第1节 多元函数的基本概念与极限 1

一、区域的概念 1

二、多元函数的概念 3

三、二元函数的极限与连续性 5

四、有界闭区域上多元连续函数的性质 8

习题7-1 8

第2节 偏导数 9

一、偏导数的定义及其计算方法 9

二、高阶偏导数 13

习题7-2 14

第3节 全微分及其应用 14

一、全微分的定义 14

二、全微分在近似计算中的应用 18

习题7-3 19

第4节 复合函数与隐函数求导法 19

一、多元复合函数的求导法则 19

二、全微分形式不变性 24

三、隐函数的求导公式 24

习题7-4 28

第5节 方向导数与梯度 29

一、方向导数 29

二、梯度 31

习题7-5 33

第6节 微分法在几何上的应用 34

一、空间曲线的切线与法平面 34

二、曲面的切平面与法线 35

习题7-6 37

第7节 多元函数的极值及其求法 38

一、多元函数的极值 38

二、多元函数的最大值与最小值 40

三、条件极值与拉格朗日乘数法 41

习题7-7 43

综合例题解析（七） 43

第8章 重积分 52

第1节 二重积分的概念与性质 52

一、两个实例 52

二、二重积分的概念 54

三、二重积分的性质 55

习题8-1 57

第2节 二重积分的计算 58

一、在直角坐标系下二重积分的算法 58

二、在极坐标系下二重积分的算法 65

习题8-2 70

第3节 二重积分的应用 72

一、曲面的面积 72

二、平面薄片的重心 74

三、平面薄片的转动惯量 76

四、平面薄片对质点的引力 77

习题8-3 78

第4节 三重积分的概念及计算 79

一、三重积分的概念 79

二、在直角坐标系中三重积分的算法 80

三、在柱面坐标系下三重积分的计算 84

四、在球面坐标系下三重积分的计算 86

五、三重积分的应用 89

习题8-4 91

综合例题解析（八） 93

第9章 曲线积分与曲面积分 103

第1节 对弧长的曲线积分 103

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 103

二、对弧长的曲线积分的计算 105

三、对弧长的曲线积分的推广 108

四、对弧长的曲线积分的应用举例 109

习题9-1 111

第2节 对坐标的曲线积分 112

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 112

二、对坐标的曲线积分的计算方法 114

三、两类曲线积分之间的关系 118

习题9-2 119

第3节 格林公式及其应用 120

一、格林公式 120

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 125

三、二元函数全微分的求积问题 128

习题9-3 132

第4节 对面积的曲面积分 133

一、对面积的曲面积分的概念与性质 133

二、对面积的曲面积分的算法 135

习题9-4 139

第5节 对坐标的曲面积分 140

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 140

二、对坐标的曲面积分的算法 144

三、两类曲面积分之间的联系 147

习题9-5 150

第6节 高斯公式与斯托克斯公式 151

一、高斯公式 151

二、斯托克斯公式 155

三、空间曲线积分与路径无关的条件 158

习题9-6 159

综合例题解析（九） 160

第10章 无穷级数 171

第1节 常数项级数的概念和性质 171

一、常数项级数的概念 171

二、收敛级数的基本性质 173

习题10-1 177

第2节 常数项级数的审敛法 178

一、正项级数及其审敛法 178

二、交错级数及其审敛法 184

三、绝对收敛与条件收敛 185

习题10-2 187

第3节 幂级数 189

一、函数项级数的概念 189

二、幂级数及其收敛性 190

三、幂级数的运算 193

习题10-3 196

第4节 函数展开成幂级数 196

一、泰勒级数 196

二、函数展开成幂级数 198

三、函数的幂级数展开式的应用 203

习题10-4 206

第5节 傅里叶级数 207

一、以2 π为周期的函数展开成傅里叶级数 207

二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 214

习题10-5 217

综合例题解析（十） 218

第11章 微分方程 227

第1节 微分方程的基本概念 227

习题11-1 230

第2节 一阶微分方程的解法 231

一、可分离变量的微分方程 231

二、齐次微分方程 234

三、一阶线性微分方程 235

四、伯努利方程 238

五、全微分方程 239

习题11-2 241

第3节 高阶微分方程的解法 243

一、可降阶的高阶微分方程 243

二、二阶线性微分方程解的结构 246

三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 248

四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 251

五、二阶线性微分方程举例 254

习题11-3 259

综合例题解析（十一） 260

参考答案 270