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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 区间和邻域 2

1.1.3 函数的概念 3

1.1.4 函数的几种性质 6

1.1.5 反函数与复合函数 9

1.1.6 初等函数 11

习题1-1 14

1.2 数列的极限 16

1.2.1 数列极限的定义 16

1.2.2 收敛数列的性质 19

习题1-2 21

1.3 函数的极限 22

1.3.1 函数极限的定义 22

1.3.2 函数极限的性质 29

习题1-3 30

1.4 无穷小与无穷大 31

1.4.1 无穷小 31

1.4.2 无穷大 32

习题1-4 33

1.5 极限运算法则 33

1.5.1 无穷小量的运算法则 33

1.5.2 函数极限的四则运算法则 34

1.5.3 复合函数的极限运算法则 39

习题1-5 40

1.6 极限存在准则 两个重要极限公式 41

习题1-6 46

1.7 无穷小的比较 47

习题1-7 50

1.8 函数的连续性与间断点 50

1.8.1 函数的连续性 50

1.8.2 函数的间断点 53

习题1-8 55

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 56

1.9.1 连续函数的四则运算的连续性 56

1.9.2 反函数与复合函数的连续性 56

1.9.3 初等函数的连续性 57

习题1-9 59

1.10 闭区间上连续函数的性质 60

习题1-10 63

总习题一（A） 64

总习题一（B） 66

第2章 导数与微分 69

2.1 导数概念 69

2.1.1 引例 69

2.1.2 导数的定义 71

2.1.3 导数的几何意义 75

2.1.4 可导与连续的关系 78

习题2-1 79

2.2 函数的求导法则与基本导数公式 80

2.2.1 四则运算的求导法则 80

2.2.2 反函数的求导法则 82

2.2.3 复合函数的求导法则 84

2.2.4 基本求导法则与导数公式 87

习题2-2 89

2.3 高阶导数 91

2.3.1 高阶导数的定义 91

2.3.2 一些常见函数的n阶导数公式 92

2.3.3 高阶导数的运算法则 94

习题2-3 95

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 96

2.4.1 隐函数的导数 96

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 99

2.4.3 相关变化率 101

习题2-4 103

2.5 函数的微分 104

2.5.1 微分的定义 104

2.5.2 基本微分公式与微分运算法则 106

2.5.3 微分的几何意义 108

2.5.4 微分在近似计算中的应用 109

习题2-5 110

总习题二（A） 111

总习题二（B） 112

第3章 微分中值定理与导数的应用 115

3.1 微分中值定理 115

3.1.1 函数的极值 115

3.1.2 微分中值定理 117

习题3-1 123

3.2 泰勒公式 124

习题3-2 130

3.3 洛必达法则 131

3.3.1 0/0型未定式的洛必达法则 131

3.3.2 ∞/∞型未定式的洛必达法则 133

3.3.3 其他类型的未定式 134

习题3-3 136

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 137

3.4.1 函数单调性的判定法 137

3.4.2 曲线的凹凸性及拐点 140

习题3-4 144

3.5 函数的极值与最值 145

3.5.1 函数的极值 145

3.5.2 最值问题 148

习题3-5 150

3.6 函数图形的描绘 151

3.6.1 曲线的渐近线 151

3.6.2 函数图形的描绘 154

习题3-6 156

3.7 曲率 156

3.7.1 弧微分 156

3.7.2 曲率及其计算公式 157

3.7.3 曲率圆、曲率中心与曲率半径 161

3.7.4 渐屈线与渐伸线 163

习题3-7 165

总习题三（A） 165

总习题三（B） 167

第4章 不定积分 170

4.1 不定积分的概念与性质 170

4.1.1 原函数与不定积分的概念 170

4.1.2 基本积分表 173

4.1.3 不定积分的性质 173

习题4-1 176

4.2 换元积分法 177

4.2.1 第一类换元积分法 177

4.2.2 第二类换元积分法 183

习题4-2 188

4.3 分部积分法 189

习题4-3 193

4.4 几种特殊类型函数的积分 194

4.4.1 有理函数的不定积分 194

4.4.2 三角函数有理式的积分 198

4.4.3 简单无理函数的积分 199

习题4-4 201

4.5 积分表的使用 202

习题4-5 203

总习题四（A） 203

总习题四（B） 206

第5章 定积分及其应用 209

5.1 定积分的概念与性质 209

5.1.1 引例 209

5.1.2 定积分的定义 211

5.1.3 定积分的性质 215

习题5-1 218

5.2 微积分学基本公式 219

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 219

5.2.2 积分上限的函数及其导数 220

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 222

习题5-2 225

5.3 定积分的换元法和分部积分法 226

5.3.1 定积分的换元法 226

5.3.2 定积分的分部积分法 230

习题5-3 233

5.4 广义积分 235

5.4.1 无穷限的广义积分 235

5.4.2 无界函数的广义积分 237

习题5-4 240

5.5 定积分的元素法及其应用 240

5.5.1 定积分的元素法 240

5.5.2 定积分在几何学上的应用 242

5.5.3 定积分在物理学上的应用 249

习题5-5 254

总习题五（A） 255

总习题五（B） 257

第6章 空间解析几何初步 261

6.1 空间直角坐标系 261

6.1.1 空间中的点的直角坐标 261

6.1.2 空间两点间的距离 262

习题6-1 264

6.2 向量代数 264

6.2.1 向量的概念 264

6.2.2 向量的运算 265

6.2.3 向量的坐标 268

6.2.4 向量在轴上的投影 270

6.2.5 两个向量的数量积和向量的方向余弦 271

6.2.6 两个向量的向量积 275

6.2.7 向量的混合积 278

习题6-2 280

6.3 空间的平面与直线 281

6.3.1 平面及其方程 281

6.3.2 空间直线及其方程 284

6.3.3 点、直线、平面之间的位置关系 287

6.3.4 平面束 291

习题6-3 293

6.4 空间的曲面与曲线 295

6.4.1 曲面方程的概念 295

6.4.2 一些常见的曲面 296

6.4.3 二次曲面 299

6.4.4 空间曲线的方程 303

6.4.5 曲面的参数方程 305

6.4.6 空间曲线在坐标面上的投影 306

习题6-4 308

总习题六（A） 310

总习题六（B） 312

第7章 多元函数微分法及其应用 314

7.1 多元函数的基本概念 314

7.1.1 平面点集的一些概念 314

7.1.2 n维空间 317

7.1.3 多元函数的概念 317

7.1.4 多元函数的极限 320

7.1.5 多元函数的连续性 322

习题7-1 324

7.2 偏导数 325

7.2.1 偏导数的定义及其计算方法 325

7.2.2 高阶偏导数 329

习题7-2 332

7.3 全微分 333

7.3.1 全微分的定义 333

7.3.2 可微的必要条件与充分条件 334

7.3.3 全微分在近似计算中的应用 337

习题7-3 339

7.4 多元复合函数的微分法 339

7.4.1 多元复合函数的求导法则 339

7.4.2 全微分的形式不变性 344

习题7-4 345

7.5 隐函数的微分法 346

7.5.1 一个方程的情形 346

7.5.2 方程组的情形 349

习题7-5 351

7.6 多元微分学在几何上的应用 352

7.6.1 空间曲线的切线与法平面 352

7.6.2 曲面的切平面与法线 356

习题7-6 359

7.7 方向导数与梯度 359

7.7.1 方向导数 359

7.7.2 梯度 363

习题7-7 366

7.8 多元函数的极值及其求法 367

7.8.1 多元函数的极值 367

7.8.2 条件极值拉格朗日乘数法 370

习题7-8 375

7.9 数学模型 376

7.9.1 最优化模型 376

7.9.2 最小二乘法模型 377

习题7-9 379

总习题七（A） 380

总习题七（B） 381

第8章 重积分 383

8.1 二重积分的概念与性质 383

8.1.1 二重积分的概念 383

8.1.2 二重积分的性质 386

习题8-1 388

8.2 二重积分的计算方法 389

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分 389

8.2.2 利用极坐标计算二重积分 395

习题8-2 400

8.3 三重积分 402

8.3.1 三重积分的概念 402

8.3.2 三重积分的计算 403

习题8-3 408

8.4 重积分的应用 409

8.4.1 曲面的面积 409

8.4.2 质心 411

8.4.3 转动惯量 413

8.4.4 引力 414

习题8-4 416

总习题八（A） 417

总习题八（B） 420

第9章 曲线积分与曲面积分 424

9.1 第一类曲线积分 424

9.1.1 第一类曲线积分的概念与性质 424

9.1.2 第一类曲线积分的计算 427

习题9-1 429

9.2 第二类曲线积分 429

9.2.1 第二类曲线积分的概念与性质 429

9.2.2 第二类曲线积分的计算 433

9.2.3 两类曲线积分之间的联系 436

习题9-2 437

9.3 格林公式及其应用 438

9.3.1 格林公式 438

9.3.2 平面曲线积分与路线无关的条件 443

9.3.3 原函数计算的例题 446

习题9-3 448

9.4 第一类曲面积分 449

9.4.1 第一类曲面积分的概念与性质 449

9.4.2 第一类曲面积分的计算 450

习题9-4 453

9.5 第二类曲面积分 454

9.5.1 第二类曲面积分的概念与性质 454

9.5.2 第二类曲面积分的计算 458

9.5.3 两类曲面积分之间的联系 460

习题9-5 462

9.6 高斯公式与斯托克斯公式 463

9.6.1 高斯公式 463

9.6.2 斯托克斯公式 466

习题9-6 469

9.7 散度与旋度 470

9.7.1 散度 470

9.7.2 旋度 471

习题9-7 473

总习题九（A） 473

总习题九（B） 475

第10章 无穷级数 478

10.1 常数项级数的概念与性质 478

10.1.1 常数项级数的概念 478

10.1.2 无穷级数的性质 481

习题10-1 484

10.2 正项级数 485

习题10-2 492

10.3 一般项级数及其审敛法 493

10.3.1 交错级数及其审敛法 493

10.3.2 绝对收敛与条件收敛 495

习题10-3 498

10.4 幂级数 498

10.4.1 函数项级数的概念 499

10.4.2 幂级数及其收敛区间 500

10.4.3 幂级数的运算 504

习题10-4 507

10.5 函数展开成幂级数 508

10.5.1 泰勒级数 508

10.5.2 函数展开成幂级数 510

习题10-5 515

10.6 函数的幂级数展开式的应用 515

10.6.1 近似计算 515

10.6.2 欧拉公式 518

习题10-6 519

10.7 傅里叶级数 519

10.7.1 三角级数与三角函数系的正交性 519

10.7.2 收敛定理与函数展开成傅里叶级数 522

习题10-7 526

10.8 一般周期函数的傅里叶级数 526

10.8.1 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 526

10.8.2 正弦级数和余弦级数 528

习题10-8 532

总习题十（A） 532

总习题十（B） 536

第11章 微分方程 539

11.1 微分方程的基本概念 539

习题11-1 542

11.2 可分离变量的微分方程 543

11.2.1 可分离变量的微分方程 543

11.2.2 齐次方程 545

习题11-2 549

11.3 一阶线性微分方程 549

11.3.1 一阶线性微分方程 549

11.3.2 伯努利方程 553

习题11-3 554

11.4 全微分方程 555

习题11-4 557

11.5 可降阶的高阶微分方程 558

11.5.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 558

11.5.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 558

11.5.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 561

习题11-5 563

11.6 高阶线性微分方程 563

11.6.1 齐次线性微分方程解的结构 564

11.6.2 非齐次线性微分方程解的结构 565

习题11-6 567

11.7 常系数齐次线性微分方程 567

习题11-7 571

11.8 常系数非齐次线性微分方程欧拉方程 571

11.8.1 f（x）＝eλxPm（x）型 572

11.8.2 f（x）＝eλx［Pl（x）cosωx＋Pn（x）sinωx］型 575

11.8.3 欧拉方程 576

习题11-8 578

11.9 微分方程的简单应用 578

习题11-9 589

总习题十一（A） 591

总习题十一（B） 592

第12章 数学实验 594

12.1 函数作图 594

12.1.1 一元函数作图（二维图形） 594

12.1.2 空间曲线的绘制 597

12.1.3 空间曲面的绘制 599

12.1.4 球面和旋转曲面的绘制 601

12.1.5 综合作图 602

12.2 函数极限的计算 604

12.2.1 求函数的极限 604

12.2.2 作图观察函数的连续性 606

12.3 函数的导数及微分计算 608

12.3.1 一元显函数求导 608

12.3.2 隐函数和由参数方程确定函数的求导 610

12.3.3 多元函数的偏导数计算 611

12.3.4 多元函数极值的计算 614

12.4 函数的积分计算 616

12.4.1 不定积分的符号计算 616

12.4.2 定积分和广义积分的符号计算 619

12.4.3 定积分的数值计算 623

12.4.4 二重积分和三重积分的计算 625

12.5 无穷级数 628

12.5.1 级数求和 628

12.5.2 数项级数判敛 629

12.5.3 泰勒级数和傅里叶级数的展开 631

12.6 常微分方程 634

12.6.1 常微分方程符号解的求解 634

12.6.2 常微分方程的数值解求解 635

参考文献 638

附录Ⅰ 积分表 639

附录Ⅱ 几种常用的曲线 645

参考答案 648