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第1章 数理逻辑 1

1.1 逻辑学概论 1

1.1.1 逻辑思维的基本规律 1

1.1.2 命题、推理和论证 4

1.1.3 逻辑学的历史 6

习题 6

1.2 形式命题（1） 8

1.2.1 简单命题 8

1.2.2 复合命题与连接词 8

习题 12

1.3 命题公式 12

1.3.1 命题变元 13

1.3.2 命题公式的定义 13

1.3.3 永真式与永假式 16

习题 18

1.4 形式推理（1） 19

1.4.1 推理规则 19

1.4.2 对偶性 22

1.4.3 推理（1） 23

习题 28

1.5 命题范式 29

1.5.1 主析取范式 29

1.5.2 主合取范式 33

习题 36

1.6 形式命题（2） 37

1.6.1 谓词 38

1.6.2 命题函数 39

1.6.3 量词 40

习题 41

1.7 形式推理（2） 42

1.7.1 谓词公式 42

1.7.2 推理规则 43

1.7.3 推理（2） 47

习题 48

本章小结 48

第2章 集合论 50

2.1 集合概论 50

2.1.1 集合及其表示 50

2.1.2 子集 53

2.1.3 幂集 54

习题 54

2.2 集合演算 54

2.2.1 集合运算 55

2.2.2 笛卡儿积 57

2.2.3 集合划分 59

习题 60

2.3 函数 61

2.3.1 函数的定义 61

2.3.2 单射、满射和双射 63

2.3.3 函数的复合 64

2.3.4 函数的逆 65

习题 67

2.4 集合的大小 67

2.4.1 数与计数 67

2.4.2 集合的势 68

2.5 二元关系 72

2.5.1 二元关系的定义 72

2.5.2 几种典型的二元关系 75

2.5.3 二元关系的复合 76

2.5.4 二元关系的逆 77

习题 77

2.6 等价关系与商集 78

2.6.1 等价关系 78

2.6.2 商集 80

习题 81

2.7 偏序关系 81

2.7.1 偏序关系的定义 81

2.7.2 哈斯图 83

2.7.3 极性元 85

2.7.4 偏序子集 86

习题 88

本章小结 88

第3章 抽象代数 89

3.1 代数学概论 89

3.1.1 初等代数简介 89

3.1.2 高等代数简介 89

3.1.3 抽象代数简介 90

3.1.4 代数学与信息科学 90

3.2 群 93

3.2.1 代数系统 94

3.2.2 半群 95

3.2.3 独异点 96

3.2.4 群的定义 97

3.2.5 交换群 101

习题 102

3.3 子群与陪集 103

3.3.1 子群 104

3.3.2 陪集 109

3.3.3 拉格朗日定理 112

习题 114

3.4 群的同构 115

3.4.1 群同构的定义 115

3.4.2 循环群 118

3.4.3 变换群 120

习题 122

3.5 置换群 122

习题 131

3.6 正规子群与商群 132

3.6.1 正规子群 132

3.6.2 商群 134

3.6.3 群的同态 136

习题 138

3.7 群的直积 139

习题 141

3.8 环 141

3.8.1 环的定义 142

3.8.2 子环 145

3.8.3 整环、除环和域 146

习题 149

3.9 理想与商环 149

3.9.1 理想 149

3.9.2 商环 153

习题 155

本章小结 155

第4章 图论 157

4.1 图论概论 157

4.1.1 网络与图 157

4.1.2 图论的历史 158

4.1.3 图论与信息科学 160

4.2 图 162

4.2.1 有向图 163

4.2.2 无向图 165

4.2.3 子图 168

4.2.4 图的同构 168

4.2.5 图的表示 169

习题 171

4.3 图的连通性 172

4.3.1 连通图 172

4.3.2 图的连通度 173

习题 178

4.4 树 178

4.4.1 树的定义 178

4.4.2 树的特征 180

4.4.3 图的生成树 182

习题 183

4.5 平面图 183

4.5.1 平面图及其嵌入 183

4.5.2 欧拉公式 185

习题 186

4.6 图的遍历 186

4.6.1 欧拉图 186

4.6.2 汉密尔顿图 187

习题 190

本章小结 191

参考文献 193