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第三篇 多变量微积分学 1

第一部分 多变量微分学 1

第十章 偏导数与全微分 1

1. 偏导数和全微分的概念 1

一、偏导数的定义 1

二、全微分的定义 4

三、高阶偏导数与高阶全微分 7

习题 10

2. 求复合函数偏导数的链式法则 11

习题 11

3. 由方程(组)所确定的函数的求导法 18

一、一个方程F(x,y,z)=0的情形 18

二、方程组的情形 20

习题 24

4. 空间曲线的切线与法平面 26

习题 30

5. 曲面的切平面与法线 30

习题 33

6. 方向导数和梯度 34

一、方向导数 34

二、梯度 36

习题 40

7. 泰勒公式 41

习题 42

8. 向量值函数的导数 43

一、向量值函数的概念 43

二、向量值函数的导数 45

习题 51

第十一章 极值与条件极值 52

1. 极值与最小二乘法 52

一、极值 52

二、最小二乘法 58

习题 61

2. 条件极值 62

习题 69

第十二章 隐函数存在定理、函数相关 71

1. 隐函数存在定理 71

一、F(x,y)=0情形 71

二、多变量及方程组情形 76

习题 80

2. 函数行列式的性质、函数相关 82

一、函数行列式的性质 82

二、函数相关 84

习题 90

第二部分 多变量积分学 91

第十三章 含参变量的积分 91

习题 97

第十四章 积分(二重、三重积分，第一类曲线，曲面积分)的定义和性质 99

1. 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念 99

2. 积分的性质 104

习题 106

第十五章 积分的计算及应用 107

1. 二重积分的计算 107

一、化二重积分为二次积分 107

二、用极坐标计算二重积分 114

三、二重积分的一般变量替换 117

习题 126

2. 三重积分的计算 128

一、化三重积分为三次积分 128

二、三重积分的变量替换 132

习题 138

3. 第一类曲线积分的计算 139

习题 142

4. 第一类曲面积分的计算 142

一、曲面的面积 142

二、化第一类曲面积分为二重积分 147

习题 150

5. 积分在物理上的应用 150

一、质心 150

二、矩 153

三、引力 155

习题 157

6. 第二类曲线积分 158

一、变力作功与第二类曲线积分的定义 158

二、第二类曲线积分的计算 162

三、两类曲线积分的联系 167

习题 170

7. 第二类曲面积分 171

一、曲面的侧的概念 171

二、第二类曲面积分的定义 173

三、两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算 175

习题 182

第十六章 各种积分间的联系和场论初步 183

1. 各种积分间的联系 183

一、格林(Green)公式 183

二、高斯(Gauss)公式 186

三、斯托克司(Stoles)公式 190

习题 194

2. 曲线积分和路径的无关性 197

习题 203

3. 场论初步 204

一、场的概念 204

二、向量场的散度与旋度 206

三、保守场与管量场 216

四、算子？ 219

习题 221

第四篇 级数论 223

第一部分 数项级数和广义积分 223

第十七章 数项级数 223

1. 预备知识：上极限和下极限 223

习题 226

2. 级数的收敛性及其基本性质 227

习题 233

3. 正项级数 233

习题 240

4. 任意项级数 241

一、绝对收敛级数 241

二、交错级数 243

三、阿贝尔(Abel)判别法和狄立克莱判别法 245

习题 250

5. 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质 251

习题 258

6. 无穷乘积 258

习题 264

第十八章 广义积分 265

1. 无穷限的广义积分 265

一、无穷限广义积分的概念 265

二、无穷限广义积分和数项级数的关系 269

三、无穷限广义积分的收敛性判别法 270

四、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法 272

习题 276

2. 无界函数的广义积分 277

一、无界函数广义积分的概念，柯西判别法 277

二、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法 280

习题 281

3. 广义重积分 282

习题 286

第二部分 函数项级数和含参变量广义积分 288

第十九章 函数项级数、幂级数 288

1. 函数项级数的一致收敛 288

一、函数项级数的概念 288

二、一致收敛的定义 289

三、一致收敛级数的性质 295

四、一致收敛级数的判别法 297

习题 301

2. 幂级数 303

一、收敛半径 303

二、幂级数的性质 307

三、函数的幂级数展开 308

习题 315

3. 逼近定理 317

习题 320

第二十章 含参变量的广义积分 321

一、一致收敛的定义 321

二、一致收敛积分的判别法 322

三、一致收敛积分的性质 323

四、欧拉(Euler)积分 327

五、阿贝尔判别法、狄立克莱判别法 328

习题 332

第二十一章 富里埃级数和富里埃变换 334

1. 富里埃级数 334

一、富里埃级数的引进 334

二、三角函数系的正交性 335

三、富里埃系数 336

四、狄立克莱积分 338

五、黎曼引理 340

六、狄尼(Dini)判别法及其推论 344

七、狄立克莱-约当判别法 346

八、富里埃级数的一致收敛性 348

九、函数的富里埃级数展开 348

十、周期为T的函数的展开 352

十一、富里埃级数的复数形式 354

十二、富里埃级数的逐项求积和逐项求导 358

习题 361

2. 富里埃变换 364

一、富里埃变换的概念 364

二、富里埃变换的一些性质 368

习题 369

索引 370