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第一章 函数 1

第一节 提要 1

一、实数的绝对值 1

二、函数的概念 1

三、初等函数 2

四、函数的性质 2

第二节 例题 3

第三节 习题 10

第二章 极限及其运算法则 14

第一节 提要 14

一、数列极限的定义 14

二、函数极限的概念 14

三、极限的重要定理 15

四、极限运算法则 15

第二节 例题 16

第三节 习题 26

第三章 极限存在准则 两个重要极限 30

第一节 提要 30

一、极限存在准则 30

二、两个重要极限 30

三、无穷小量的比较 30

第二节 例题 32

第三节 习题 45

第四章 函数的连续性 49

第一节 提要 49

一、函数的连续的定义 49

二、函数的间断点 50

三、初等函数的连续性 50

四、在闭区间上连续函数的性质 50

五、常用极限 51

第二节 例题 51

第三节 习题 60

第五章 导数 63

第一节 提要 63

一、导数的概念 63

二、函数的微分法 64

三、基本初等函数的导数公式 65

第二节 例题 66

第三节 习题 79

第六章 微分与高阶导数 83

第一节 提要 83

一、微分的概念 83

二、微分形式不变性和微分法则 84

三、微分在近似计算上的应用 84

四、高阶导数 85

第二节 例题 86

第三节 习题 99

第七章 中值定理 罗比塔法则 台劳公式 102

第一节 提要 102

一、中值定理 102

二、罗比塔(L’Hospital)法则--求未定式极限的方法 103

三、台劳(Taylor)公式 103

第二节 例题 105

第三节 习题 123

第八章 导数的应用 128

第一节 提要 128

一、函数的单调性 128

二、函数的极值 128

三、函数的最大值和最小值 129

四、曲线的凹凸性与拐点 129

五、曲线的渐近线 130

六、函数的作图 131

第二节 例题 131

第三节 习题 145

第九章 不定积分及其本积分法 149

第一节 提要 149

一、原函数与不定积分的定义 149

二、不定积分的简单性质 149

三、基本积分法 149

四、积分公式 150

第二节 例题 152

第三节 习题 162

第十章 几类特殊初等函数的积分法 167

第一节 提要 167

一、有理函数的积分法 167

二、三角函数有理式的积分法 168

三、几种无理函数的积分法 168

第二节 例题 169

第三节 习题 183

第十一章 定积分及其计算法 189

第一节 提要 189

一、定积分的概念 189

二、定积分的性质 190

三、定积分与原函数的关系 191

四、定积分的计算方法 192

第二节 例题 193

第三节 习题 210

第十二章 广义积分 215

第一节 提要 215

一、广义积分 215

二、收敛的广义积分的性质 217

三、广义积分敛散性的判别准则 217

四、常用公式 218

五、l 函数 219

第二节 例题 219

第三节 习题 229

第十三章 定积分的应用 232

第一节 提要 232

一、几何方面的应用 232

二、物理方面的应用 235

三、连续函数的平均值 236

第二节 例题 236

第三节 习题 251

第十四章 常数项级数 256

第一节 提要 256

一、无穷级数的基本概念 256

二、正项级数敛散性的判别法 257

三、任意项级数敛散性的判别法 259

第二节 例题 261

第三节 习题 273

第十五章 幂级数 276

第一节 提要 276

一、函数项级数的基本概念 276

二、幂级数的收敛域 277

三、幂级数的性质和运算法则 278

四、函数的幂级数展开式--台劳展开式 278

五、台劳级数在近似计算中的应用 280

第二节 例题 282

第三节 习题 304

第十六章 付立叶级数 308

第一节 提要 308

一、付立叶(Fourier)级数的收敛性 308

二、偶函数与奇函数的付氏级数 309

三、在半区间〔0，π〕上将函数展成付氏级数--正弦级数和余弦级数 310

四、在任意区间上将函数展成付氏级数 310

第二节 例题 311

第三节 习题 325

第十七章 矢量代数 330

第一节 提要 330

一、矢量的概念 330

二、矢量的线性运算--加(减)法 数与矢量乘法 331

三、矢量的乘法运算 332

第二节 例题 334

第三节 习题 342

第十八章 空间解析几何 345

第一节 提要 345

一、空间平面的方程 345

二、空间直线的方程 345

三、二次曲面的标准方程 346

四、旋转面的方程 347

第二节 例题 347

第三节 习题 356

第十九章 多元函数的偏导数与全微分 359

第一节 提要 359

一、多元函数的基本概念 359

二、偏导数 360

三、全微分及其在近似计算中的应用 362

四、方向导数--函数沿任--给定方向的变化率 363

第二节 例题 363

第三节 习题 377

第二十章 多元函数微分法及其应用 379

第一节 提要 379

一、复合函数微分法 379

二、隐函数的微分法 380

三、函数的极值、最大值和最小值 381

四、空间曲线的切线与法平面 383

五、曲面的切平面与法线 383

第二节 例题 384

第三节 习题 404

第廿一章 二重积分 409

第一节 提要 409

一、二重积分的概念 409

二、二重积分的计算法 410

三、二重积分的应用 412

第二节 例题 414

第三节 习题 436

第廿二章 三重积分 440

第一节 提要 440

一、三重积分的概念 440

二、三重积分的计算法--累次积分法 441

三、三重积分的应用 443

第二节 例题 444

第三节 习题 463

第廿三章 曲线积分 467

第一节 提要 467

一、第一类曲线积分--对弧长的曲线积分 467

二、第二类曲线积分--对坐标的曲线积分 469

三、曲线积分与路径无关的条件 471

第二节 例题 472

第三节 习题 488

第廿四章 曲面积分 493

第一节 提要 493

一、第一类曲面积分--对面积的曲面积分 493

二、第二类曲面积分--对坐标的曲面积分 494

三、两个重要公式 496

四、空间曲线积分与路径无关的条件 497

第二节 例题 497

第三节 习题 512

第廿五章 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程 516

第一节 提要 516

一、微分方程的基本概念 516

二、可分离变量的微分方程 516

三、齐次方程 517

四、一阶线性方程 517

五、贝努利方程 518

六、全微分方程 518

七、可降阶的高阶微分方程 518

第二节 例题 519

第三节 习题 538

第廿六章 二阶线性微分方程 542

第一节 提要 542

一、二阶线性微分方程的解的结构 542

二、二阶线性常系数齐次微分方程的解法 542

三、二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 543

第二节 例题 544

第三节 习题 557