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第一章 凸集的基本性质 1

§1.1基本概念 1

1.1.1 凸集与凸曲线 1

1.1.2 支持线及其存在性 1

§1.2 凸集的支持函数和宽度函数 3

1.2.1 直线的广义法式 3

1.2.2 凸集的支持函数与宽度函数 3

1.2.3 凸曲线作为直线族的包络 4

1.2.4 周长公式的初等证明 6

1.3.1 常宽凸集 8

§1.3 某些特殊凸集 8

1.3.2 平行凸集 9

§1.4 Minkowski混合面积 9

1.4.1 混合凸集的定义 9

1.4.2 Minkowski混合面积 10

§1.5 单位球面面积和单位球体体积公式 11

第二章 平面上几何元素集的测度 13

§2.1 点集的测度 13

2.1.1 点集的测度 13

2.1.2 几点注记 14

2.1.3 一个积分公式 15

2.2.1 直线集的测度 17

§2.2 直线集的测度 17

2.2.2 两个推论 19

2.2.3 直线密度的另外一些形式 19

2.2.4 等周不等式的证明 21

§2.3 点偶与线偶 22

2.3.1 点偶的密度 22

2.3.2 凸集的弦幂积分 23

2.3.3 研究弦幂积分的意义 24

2.3.4 弦幂积分不等式 25

2.3.5 线偶的密度 25

2.3.6 Crofton公式 26

2.4.1 凸域的随机分割 27

§2.4 平面的随机分割 27

2.4.2 平面的随机分割 30

2.4.3 关于随机分割的注记 32

§2.5 平面上的带域集 32

2.5.1 带域的密度 32

2.5.2 Buffon投针问题的推广 33

2.5.3 进一步推广 34

第三章 平面积分几何的基本定理 40

§3.1 平面运动群 40

3.1.1 平面运动群 40

3.1.2 左推移和右推移 42

3.1.3 ？上的微分形式 43

§3.2 运动密度 44

3.2.1 左不变1形式与右不变1形式 44

3.2.2 运动密度 46

3.2.3 运动测度的几何意义 47

3．2．4 运动密度的其他形式 49

§3.3 Poincaré公式 50

3.3.1 运动密度的又一表示形式 50

3.3.2 Poincaré公式 52

§3.4 Balaschke运动基本公式 53

3.4.1 闭曲线及平面区域的全曲率 53

3.4.2 Blaschke运动基本公式 55

3.4.3 Blaschke公式的直接推论 57

第四章 平面积分几何的应用 59

§4.1 等周不等式 59

4.1.1 等周不等式的证明 59

4.1.2 加强的等周不等式 61

4.1.3 等周亏格的上界估计 63

§4.2 一个区域能够包含另一个区域的条件 65

4.2.1 一个区域能够包含另一个区域的充分条件 66

4.2.2 与Hadwiger条件的比较 67

4.2.3 若干推论 69

4.3.2 凸域内定长线段的运动测度公式 70

4.3.1 问题的提出 70

§4.3 凸域内定长线段的运动测度 70

4.3.3 广义支持函数和限弦函数 72

4.3.4 用广义支持函数表达m(l)的公式 73

4.3.5 矩形域的m(l) 78

§4.4 运动测度m(l)在几何概率问题中的应用 79

4.4.1 Buffon问题的Laplace推广 79

4.4.2 利用m(l)讨论推广的Buffon问题 80

4.4.3 某些凸多边形域的m(l)及其应用 83

§4.5 与л的统计估计有关的一个问题 93

4.5.1 平行线网 93

4.5.2 矩形网格 独立性条件 94

4.5.3 有效性分析 95

4.5.4 平行四边形网格 97

第五章 齐性空间积分几何的理论基础 100

§5.1 微分流形 100

5.1.1 拓扑空间 100

5.1.2 拓扑流形与微分流形 102

5.1.3 可微函数与可微映射 103

§5.2 流形上的向量场 104

5.2.1 切空间与切向量场 104

5.2.2 流形间映射的微分 105

5.2.3 向量场的局部坐标表示 105

5.3.1 对偶向量场 106

§5.3 微分形式与外微分 106

5.3.2 张量场 107

5.3.3 流形上的外代数 108

5.3.4 外微分 112

5.3.5 用通常的微分表示外微分 113

§5.4 积分流形与Pfaff方程 115

5.4.1 积分流形 115

5.4.2 Pfaff方程组 116

§5.5 李群及其运动密度 120

5.5.1 李群 120

5.5.2 左推移和右推移 121

5.5.3 左不变微分形式 123

5.5.4 李群的结构方程与结构常数的性质 125

5.5.5 李群的运动密度 132

§5.6 齐性空间的密度和测度 137

5.6.1 李群作用于流形 齐性空间 137

5.6.2 G/H上不变密度存在的条件 138

5.6.3 Weil条件 140

5.6.4 H为正规子群的情形 142

5.6.5 陈省身条件 143

5.6.6 稳定子群 144

§5.7 应用举例——重新认识平面积分几何 145

6.1.1 运动群及其结构方程 149

第六章 En中的积分几何 149

§6.1 En中的运动群 149

6.1.2 运动群及其子群的不变体积元 151

§6.2 En中线性空间的密度 154

6.2.1 r维平面的运动密度 154

6.2.2 包含固定q维平面的r维平面的运动密度 155

6.2.3 Grassmann流形的体积 156

6.2.4 En中r维平面的密度之另一形式 157

6.2.5 线性空间偶（Ln-1,L*n-1）的运动密度 158

6.2.7 点组的密度公式 160

6.2.6 线性空间偶（Lr，L(r)?+1的运动密度 160

§6.3 凸集与均质积分 162

6.3.1 凸集的均质积分 162

6.3.2 Cauchy公式 166

6.3.3 平行凸集Steiner公式 167

6.3.4 W 2(K v-r)的平均值 169

§6.4 平均曲率积分 170

6.4.1 En中超曲面的平均曲率积分 170

6.4.2 平均曲率积分与均质积分之间的联系 172

6.4.3 一些具体结果 173

6.4.4 平坦凸体的平均曲率积分 177

6.5.1 与一凸集相交的r维平面集的测度 178

§6.5 与一凸集相交的r维平面集 178

6.5.2 W（r）？+1(LrnK)在集{Lr：LrnK≠φ}上的积分 179

6.5.3 Crofton公式 180

§6.6 陈省身公式 181

6.6.1 一个密度关系式 181

6.6.2 △r+q-n的积分 183

6.6.3 陈省身公式 184

§6.7 Santaló公式 186

6.7.1 一个密度关系式 186

6.7.2 Santaló公式 188

6.8.1 一个密度公式 190

§6.8 二流形交集的体积的积分 190

6.8.2 又一个密度公式 192

6.8.3 体积Or+q-n（Mrn Mq）的积分 192

§6.9 陈省身-严志达公式 194

6.9.1 一个重要的密度关系式 194

6.9.2 陈省身-严志达运动基本公式 196

6.9.3 关于凸集的运动基本公式 204

6.9.4 平均曲率积分的积分 205

第七章 积分几何的应用 208

§7.1 三维欧氏空间积分几何概述 208

7.1.1 E3中的运动群 208

7.1.2 E3中直线和平面的密度 210

7.1.3 一些基本公式 212

7.1.4 动图形是凸柱体的情形 214

§7.2 立体学大意 216

7.2.1 立体学的研究对象 216

7.2.2 一般性的讨论 217

7.2.3 切片法——用平面截割 219

7.2.4 球形颗粒 222

7.2.5 近球颗粒 223

7.2.6 穿刺法——用直线探测 224

§7.3 一个凸体包含另一个凸体的充分条件 226

7.3.1 一个密度公式 226

7.2.7 晶粒估计问题 226

7.3.2 一个凸体包含另一个凸体的充分条件 227

§7.4 凸体内定长线段的运动测度 230

7.4.1 En中凸体内定长线段运动测度的一般公式 231

7.4.2 公式的变形 233

7.4.3 柱体情形 236

7.4.4 E3中长方体的m(l)与Buffon问题 238

7.4.5 En中长方体的m(l)与Buffon问题 243

§7.5 关于弦幂积分不等式 244

7.5.1 E3中弦幂积分不等式 245

7.5.2 几何概率上的应用 248

7.5.3 En中弦幂积分不等式 250