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序言 1

第一章 变量与函数 1

1 实数系.函数概念 1

1.2 绝对值.区间与邻域 4

1.3 变量与函数 7

2 函数的进一步讨论 11

2.1 函数的表示方法 11

2.2 一些特殊类型的函数 14

2.3 隐函数 18

2.4 反函数与复合函数 19

2.5 初等函数 23

2.6 函数的参数表示法 31

习题 34

第二章 函数的极限与连续 38

1 数列的极限 38

1.1 数列 38

1.2 无穷小量 40

1.3 数列的极限 44

习题 57

2.1 函数的极限定义 60

2 函数的极限 60

2.2 函数极限的基本性质 67

2.3 函数极限的四则运算.两个判别法则 68

2.4 复合函数与反函数的极限 71

2.5 两个重要极限 74

2.6 无穷大量.无穷大量与无穷小量的阶 77

习题 79

3 函数的连续性 83

3.1 连续函数的定义 83

3.2 连续函数的运算.初等函数的连续性 85

3.3 函数的间断点及其分类 86

3.4 函数的一致连续概念 90

3.5 闭区间上连续函数的性质 92

习题 94

第三章 微分学 97

1 函数的导数概念 97

1.1 问题的提出 97

1.2 导数的定义 99

1.3 导数的几何意义 100

1.4 左导数与右导数 101

1.5 函数的可导性与连续性的关系 104

1.6 函数求导的基本公式 105

习题 107

2 求导法则 108

2.1 导数的四则运算 108

2.2 反函数的求导法则 110

2.3 复合函数的求导法则 112

2.4 隐函数的求导法则 115

2.5 由参数方程确定的函数的求导法则 118

2.6 高阶导数 120

2.7 导数的简单应用 125

习题 129

3 微分及其应用 134

3.1 问题的提出 134

3.2 微分的定义 135

3.3 可微与可导的关系 137

3.4 微分的几何意义 138

3.5 微分法则 139

3.6 高阶微分 140

3.7 微分的简单应用 142

习题 146

1 微分学基本定理 147

第四章 微分学基本定理及其应用 147

2 基本定理的一些应用 151

2.1 函数为常数的条件 151

2.2 函数单调性的判断 152

2.3 对证明不等式的应用 154

习题 156

3 不定式的定值 158

3.1 ？型不定式 159

3.2 ？型不定式 161

3.3 其它类型的不定式 164

习题 167

4 泰勒(Taylor)公式 168

4.1 问题的提出 168

4.2 泰勒公式的一般形式 169

4.3 余项估计 170

4.4 例题 173

习题 178

5 函数的极值.最大值与最小值 179

5.1 函数的极值及其必要条件 179

5.2 极值的充分条件 180

5.3 函数的最大值与最小值 184

4.1 积分区间为无穷区间的广义积分 187

习题 192

6 曲线的凹凸与函数的作图 194

6.1 曲线的凹凸与拐点 194

6.2 曲线的渐近线 198

6.3 函数作图 202

习题 205

7 曲率与弧微分 206

7.1 曲率的概念 206

7.2 弧微分 207

7.3 曲率的计算 208

7.4 曲率圆(密切圆) 210

习题 214

8 方程的近似解法 214

8.1 弦截法(割线法) 215

8.2 切线法(牛顿Newton法) 216

8.3 收敛性、实例 218

习题 220

9 插值法 220

9.1 拉格朗日插值法 221

9.2 埃尔米特(Hermite)插值 225

习题 229

1 不定积分的概念 230

1.1 原函数与不定积分 230

第五章 不定积分 230

1.2 基本积分表 231

1.3 不定积分的性质 232

习题 234

2 积分法 235

2.1 “凑”微分法 235

2.2 换元积分法 236

2.3 分部积分法 241

2.4 有理函数的不定积分 244

2.5 三角函数有理式的积分 251

2.6 某些无理函数的积分 255

习题 259

第六章 定积分 263

1 定积分的概念 263

1.1 定积分概念的引进 263

1.2 定积分的定义 269

1.3 连续函数的可积性 271

2 定积分的基本性质及牛顿-莱布尼兹公式 274

2.1 定积分的基本性质 274

2.2 牛顿-莱布尼兹公式 278

3.1 定积分的换元法 281

3 定积分的换元法与分部积分法 281

3.2 定积分的分部积分法 284

4 广义积分初步 286

4.2 被积函数为无界函数的广义积分 288

习题 290

5 定积分的应用 295

5.1 平面上连续曲线围成图形的面积 296

5.2 体积的计算 300

5.3 曲线的弧长 303

5.4 旋转体的侧面积 308

5.5 重心(质量中心) 309

5.6 转动惯量 315

5.7 力与功 316

5.8 连续函数的平均值与均方根 321

习题 322

6 定积分的近似计算 328

6.1 梯形公式 328

6.2 抛物线公式--辛卜生(Simpson)公式 329

6.3 近似积分中的误差估计 331

习题 336

第七章 微分方程初步 337

1 基本概念 337

2 一阶微分方程 339

2.1 一阶可分离变量的微分方程 339

2.2 可化为分离变量的微分方程 343

2.3 一阶线性微分方程 348

2.4 导数未解出的某些简单方程 351

习题 355

3.1 方程y″=f(x) 358

3 特殊类型的二阶微分方程 358

3.2 方程y″=f(x,y′) 359

3.3 方程y″=f(y,y′) 359

习题 361

4 二阶线性微分方程 362

4.1 齐次线性方程的一般理论 362

4.2 非齐次线性方程的解 367

4.3 二阶常系数线性方程 370

4.4 尤拉方程 374

习题 375