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1.导数、微分的应用 1

1.1 初等函数与分段函数 1

1.1.1 初等函数 1

1.1.2 分段函数 2

1.2 无穷小量 3

1.2.1 无穷小量 3

1.2.2 无穷小量的比较 4

1.2.3 无穷小量与极限的关系 4

1.3 变化率问题 5

1.4 函数图形的描绘 7

1.4.1 曲线的凹凸和拐点 7

1.4.2 函数图形的描绘 9

1.5 函数展为幂级数 11

1.5.1 用多项式近似表示函数 11

1.5.2 常用的几个函数的幂级数展开式 13

1.6 由参数方程所确定的函数的导数 15

1.7 近似计算与误差估计 16

1.7.1 近似计算 16

1.7.2 误差估计 17

习题一 18

2.不定积分 21

2.1 不定积分的概念与简单性质 21

2.1.1 原函数 21

2.1.2 不定积分的概念 22

2.1.3 不定积分的简单性质 23

2.2 不定积分的基本公式和运算法则 23

2.2.1 基本公式 23

2.2.3 直接积分法 24

2.2.2 不定积分的运算法则 24

2.3 换元积分法 25

2.3.1 第一类换元法(凑微分法) 26

2.3.2 第二类换元法 28

2.2.3 说明 30

2.4 分部积分法 32

2.5 积分表的使用 33

习题二 34

3.1 定积分的概念 37

3.1.1 引出定积分概念的两个实际问题 37

3 定积分及其应用 37

3.1.2 定积分概念 38

3.2 定积分的性质 40

3.3 定积分的计算 40

3.3.1 微积分学的基本公式 40

3.3.2 定积分的换元法和分部积分法 42

3.4 定积分的近似计算 44

3.4.1 梯形法 44

3.4.2 幂级数法 45

3.5.1 平面图形的面积 46

3.5 定积分的应用 46

3.5.2 旋转体的体积 47

3.5.3 变力所作的功 49

3.5.4 液体的静压力 51

3.6 广义积分和Γ函数 51

3.6.1 广义积分 51

3.6.2 Γ函数 53

习题三 53

4.1.1 空间点的直角坐标 56

4.1 空间直角坐标系 56

4 空间解析几何 56

4.1.2 空间两点的距离 57

4.2 空间曲面与曲线 58

4.2.1 空间曲面及其方程 58

4.2.2 空间曲线及其方程 60

4.2.3 几种特殊的二次曲面 61

4.3 向量代数 64

4.3.1 向量的概念 64

4.3.2 向量的加减法 65

4.3.3 向量与数量的乘法 66

4.3.4 向量的坐标表示 67

4.3.5 向量的模及方向余弦 68

4.3.6 向量的数量积 70

4.3.7 向量的向量积 72

4.4 空间平面与直线 74

4.4.1 空间平面及其方程 74

4.4.2 空间直线及其方程 78

习题四 82

5.多元函数微分学 85

5.1 多元函数的概念 85

5.2.1 二元函数的极限 87

5.2 二元函数的极限和连续 87

5.2.2 二元函数的连续性 88

5.3 多元函数的偏导数 89

5.3.1 偏导数的概念及计算 89

5.3.2 二元函数偏导数的几何意义 92

5.3.3 高阶偏导数 92

5.4 多元函数的全微分 93

5.5 复合函数的微分法 95

5.6.1 近似计算 98

5.6 全微分在近似计算和误差估计中的应用 98

5.6.2 误差估计 99

5.7 二元函数的极值 100

习题五 102

6.多元函数积分学 105

6.1 二重积分的概念与性质 105

6.1.1 二重积分的概念 105

6.1.2 二重积分的性质 107

6.2 二重积分的计算 108

6.2.1 在直角坐标系中计算二重积分 108

6.2.2 在极坐标系中计算二重积分 113

6.3 二重积分的简单应用 116

6.4 对坐标的曲线积分 119

6.4.1 对坐标曲线积分的概念及简单性质 119

6.4.2 对坐标曲线积分的计算 121

6.5 格林(Green)公式及其应用 123

6.6 曲线积分与路无关的条件 125

习题六 128

7.微分方程 131

7.1 基本概念 131

7.1.1 微分方程的阶、线性微分方程 132

7.1.2 微分方程的解及其几何意义 133

7.2 可分离变量的微分方程 134

7.3 一阶线性微分方程 136

7.4 可降阶的二阶微分方程 141

7.4.1 不显含未知函数y的二阶微分方程 141

7.4.2 不显含自变量x的二阶微分方程 142

7.5 二阶常系数线性齐次微分方程 144

7.5.1 二阶线性微分方程解的性质 144

7.5.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 145

7.6 拉普拉斯变换 147

7.6.1 拉普拉斯变换的概念 148

7.6.2 拉普拉斯变换的简单性质 149

7.7 二阶常系数线性微分方程 150

7.8 微分方程的简单应用 154

习题七 158

8.矩阵 161

8.1 矩阵的概念 161

8.2 矩阵的运算 164

8.2.1 矩阵的加法 164

8.2.2 矩阵的数乘 164

8.2.3 矩阵与矩阵的乘法 165

8.3 矩阵的逆 170

8.4 矩阵的初等变换 173

8.5 矩阵的秩 178

8.6 线性方程组 181

8.6.1 线性方程组的形式 181

8.6.2 含n个方程的n元线性方程组的解 182

8.6.3 线性方程组的解 183

8.7 应用问题 188

8.7.1 线性方程组附加约束 188

8.7.2 矩阵对策 189

8.7.3 线性规划(LP) 192

习题八 195

附录Ⅰ 导数与微分 201

一、函数与极限 201

1.函数的概念 201

2.函数的极限 202

3.函数的连续性 205

二、函数的导数 206

1.导数的概念 206

2.幂函数、正弦函数、对数函数的导数 208

3.导数的运算法则 210

4.复合函数的求导法则 211

5.常见的几个导数公式 212

三、函数的微分 214

1.微分的概念 214

2.微分中值定理 216

3.函数的增减性和极值 217

习题 219

Ⅱ 简明不定积分表 222

习题答案 227