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第1章 函数的极限与连续 1

1.1函数 1

1.1.1集合与区间 1

1.1.2函数 3

1.1.3初等函数 9

1.2数列的极限 17

1.2.1数列 17

1.2.2数列极限的定义 18

1.2.3关于数列极限的几个结论 21

1.3函数的极限 22

1.3.1自变量趋向于无穷大时函数的极限 23

1.3.2自变量趋向有限值时函数的极限 24

1.3.3函数极限的性质 27

1.4无穷小量与无穷大量 29

1.4.1无穷小量 29

1.4.2无穷大量 30

1.4.3无穷小量的运算性质 31

1.5极限的运算法则 33

1.6两个重要极限 37

1.6.1夹逼定理 37

1.6.2重要极限：limx→0sinx/x=1 38

1.6.3数列收敛准则 39

1.6.4重要极限：limx→∞（1+1/x）x=e 40

1.7无穷小量的比较 42

1.8函数的连续性与间断点 44

1.8.1函数的连续性 44

1.8.2函数的间断点 46

1.8.3连续函数的运算 47

1.8.4初等函数的连续性 48

1.9闭区间上连续函数的性质 51

本章小结 53

复习题1 55

第2章 导数与微分 57

2.1导数的概念 57

2.1.1两个实例 57

2.1.2导数的定义 59

2.1.3求导数举例 60

2.1.4导数的几何意义 61

2.1.5函数的可导性与连续性的关系 62

2.2函数的求导法则 64

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 64

2.2.2反函数的导数 66

2.2.3复合函数的导数 67

2.2.4初等函数的导数 69

2.3高阶导数 72

2.4隐函数及参数方程所确定的函数的导数 74

2.4.1隐函数的导数 74

2.4.2参数方程确定的函数的导数 77

2.4.3相关变化率 78

2.5函数的微分及其应用 80

2.5.1微分的概念 80

2.5.2微分的几何意义 82

2.5.3微分的运算 82

2.5.4微分在近似计算中的应用 84

本章小结 88

复习题2 90

第3章 中值定理与导数的应用 93

3.1中值定理 93

3.1.1罗尔定理 93

3.1.2拉格朗日中值定理 95

3.1.3柯西中值定理 97

3.2洛必达法则 99

3.3函数的单调性与函数的极值 104

3.3.1函数的单调性 104

3.3.2函数的极值 106

3.3.3最大值和最小值问题 109

3.4曲线的凹凸、拐点及函数作图 112

3.4.1曲线的凹凸及其判定方法 112

3.4.2函数作图 114

3.5泰勒公式 116

3.5.1泰勒公式 116

3.5.2几个常见函数的麦克劳林公式 119

3.6弧微分及曲率 122

3.6.1弧微分 122

3.6.2曲率及其计算公式 123

3.6.3曲率圆 126

3.7方程的近似解 126

3.7.1二分法 127

3.7.2切线法 128

本章小结 130

复习题3 131

第4章 不定积分 134

4.1不定积分的概念与性质 134

4.1.1不定积分的概念 134

4.1.2不定积分的性质 136

4.1.3基本积分表 137

4.2换元积分法 139

4.2.1第一类换元法 139

4.2.2第二类换元法 144

4.3分部积分法 149

4.4两类函数的积分 154

4.4.1有理函数的积分 154

4.4.2三角函数有理式的积分 158

4.5积分表的使用 160

本章小结 162

复习题4 165

第5章 定积分及其应用 167

5.1定积分的概念 167

5.1.1两个实际问题 167

5.1.2定积分的概念 169

5.2定积分的性质 172

5.3微积分基本公式 175

5.3.1变上限的定积分 175

5.3.2微积分基本公式 177

5.4定积分的换元积分法和分部积分法 180

5.4.1定积分的换元积分法 180

5.4.2定积分的分部积分法 183

5.5定积分的近似计算 186

5.5.1矩形法 187

5.5.2梯形法 187

5.5.3抛物线法 187

5.6广义积分 189

5.6.1无穷限的广义积分 189

5.6.2无界函数的广义积分 190

5.7定积分的应用 192

5.7.1定积分的元素法 192

5.7.2几何应用 193

5.7.3定积分的物理应用 199

本章小结 204

复习题5 208

第6章 向量代数与空间解析几何 211

6.1空间直角坐标系 211

6.1.1空间直角坐标系 211

6.1.2两点间的距离公式 212

6.2向量的概念 213

6.2.1向量的概念 213

6.2.2向量的加减法 214

6.3向量的坐标表达式 216

6.3.1向量的坐标 216

6.3.2向量的模与方向余弦 217

6.4数量积与向量积 219

6.4.1两向量的数量积 219

6.4.2两向量的向量积 220

6.5空间曲面与曲线的方程 223

6.5.1曲面方程 223

6.5.2空间曲线方程 227

6.6空间平面的方程 230

6.6.1平面的点法式方程 230

6.6.2平面的一般方程 231

6.7空间直线的方程 234

6.7.1空间直线的一般式方程 234

6.7.2空间直线的标准式方程 234

6.7.3直线的参数方程 235

6.8.常见的二次曲面的图形 236

6.8.1椭球面 237

6.8.2双曲面 237

6.8.3抛物面 238

6.8.4二次锥面 239

本章小结 240

复习题6 242

第7章 多元函数微分法及其应用 244

7.1多元函数的基本概念 244

7.1.1区域 244

7.1.2多元函数的概念 246

7.1.3二元函数的极限 248

7.1.4二元函数的连续性 249

7.2偏导数 250

7.2.1偏导数的定义及计算方法 250

7.2.2高阶偏导数 253

7.3全微分及其应用 255

7.3.1全微分的概念 255

7.3.2全微分在近似计算中的应用 258

7.4多元函数的微分法 259

7.4.1多元复合函数的求导法则 259

7.4.2隐函数的求导公式 262

7.5偏导数的几何应用 266

7.5.1空间曲线的切线及法平面 266

7.5.2曲面的切平面与法线 268

7.6方向导数与梯度 269

7.6.1方向导数 269

7.6.2梯度 271

7.7多元函数的极值 272

7.7.1多元函数的极值及最大值、最小值 272

7.7.2条件极值 275

本章小结 277

复习题7 280

第8章 重积分 282

8.1二重积分的概念与性质 282

8.1.1二重积分的概念 282

8.1.2二重积分的性质 284

8.2二重积分的计算方法 286

8.2.1二重积分在直角坐标系中的计算方法 286

8.2.2二重积分在极坐标系中的计算方法 290

8.3二重积分应用举例 295

8.3.1几何应用举例 295

8.3.2物理应用举例 298

8.4三重积分的概念及计算方法 302

8.4.1三重积分的概念 302

8.4.2在直角坐标系中计算三重积分 303

8.4.3在柱面坐标系中计算三重积分 306

8.4.4在球面坐标系中计算三重积分 308

本章小结 311

复习题8 314

第9章 曲线积分与曲面积分 316

9.1对弧长的曲线积分 316

9.1.1对弧长曲线积分的概念与性质 316

9.1.2对弧长的曲线积分的计算法 317

9.2对坐标的曲线积分 320

9.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质 320

9.2.2对坐标的曲线积分的计算法 321

9.2.3两类曲线积分之间的联系 323

9.3格林公式 325

9.3.1格林公式 325

9.3.2曲线积分与路径无关的条件 327

9.4曲面积分 331

9.4.1对面积的曲面积分 331

9.4.2对坐标的曲面积分 334

9.4.3两类曲面积分之间的联系 338

9.4.4高斯公式 339

本章小结 342

复习题9 345

第10章 级数 348

10.1数项级数 348

10.1.1无穷级数的敛散性 348

10.1.2无穷级数的性质 350

10.1.3级数收敛的必要条件 351

10.2常数项级数审敛法 352

10.2.1正项级数的审敛法 353

10.2.2交错级数的审敛法 358

10.2.3绝对收敛与条件收敛 359

10.3幂级数 363

10.3.1幂级数的概念 363

10.3.2幂级数的收敛性 364

10.3.3幂级数的运算 367

10.4函数展开成泰勒级数 369

10.4.1泰勒级数 369

10.4.2把函数展成幂级数 371

10.4.3函数的幂级数展开式的应用举例 374

10.4.4欧拉公式 375

10.5傅里叶级数 376

10.5.1以2π为周期的函数的傅里叶级数 377

10.5.2定义在［—π，π］或［0，π］上的函数的傅里叶级数 383

10.5.3以2l为周期的函数的傅里叶级数 385

本章小结 389

复习题10 392

第11章 微分方程 394

11.1微分方程的基本概念 394

11.1.1微分方程 394

11.1.2微分方程的阶 395

11.1.3微分方程的解 396

11.2可分离变量的微分方程 397

11.3一阶线性微分方程 402

11.3.1一阶齐次线性方程通解的求法 403

11.3.2一阶非齐次线性方程通解的求法 403

11.4可降阶的二阶微分方程 407

11.4.1y″=f（x）型的微分方程 408

11.4.2y″=f（x，y′）型的微分方程 408

11.4.3y″=f（y，y′）型的微分方程 409

11.5二阶常系数齐次线性微分方程 411

11.5.1二阶常系数齐次线性微分方程解的性质 412

11.5.2二阶常系数齐次线性微分方程的解法 412

11.6二阶常系数非齐次线性微分方程 416

11.6.1二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质 416

11.6.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 417

本章小结 422

复习题11 424

附录A几种常用平面曲线及其方程 426

附录B积分表 428

附录C场论初步 437

习题参考答案 448