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第一章 数列 1

§1 等差数列 1

1．等差数列的通项 2

2．等差数列的和 4

3．两个等差数列 6

4．成等差数列的条件 7

5．倍数问题 9

6．最大值与最小值 11

7．调和数列 12

§2 等比数列 14

8．等比数列的通项 16

9．等比数列的和 17

10．两个数列 19

11．成等比数列的条件 21

13．大小关系 21

12．运动与图形 22

14．约数问题 26

15．复利法 27

§3 平方数与立方数的数列 30

16．∑K2，∑K3 32

17．每两项之积的和 34

18．在图形上的应用 35

19．∑∑的问题 37

§4 各种数列 39

20．阶差法 41

21．部分分式法 42

22．S-Sr法 44

23．Sn-Sn-1法 46

24．f(K)-f(K-1)法 47

25．被划分成群的数列 49

26．划分成群数列 51

27．展开式的系数 53

28．数列的积 54

§5 递推式 56

29．xn+1=axn+b 58

30．xn+1=axn+b的变形 60

31．含xn的关系式 61

32．xn+2=axn+1+bxn(a+b=1) 63

33．xn,xn+1,xn+2的关系式 64

34．费波那奇数列 66

35．联立递推式 68

36．框图 70

§6 二项式定理 72

37．二项式定理 73

38．通项 75

39．二项式系数的数列 77

40．数列与概率 79

41．多项式定理 81

42．多项式展开的xm的系数 82

§7 数学归纳法 84

43．推断与证明 86

44．等式的证明 88

45．不等式的证明 89

46．性质的证明 91

第二章 空间坐标与向量 92

§8 空间的图形与坐标 93

47．空间图形 95

48．两点间的距离 96

49．定比分点与重心 98

50．球的方程 100

§9 空间向量 102

51．向量的和与差 104

52．向量的实数积 105

53．向量的大小 107

§10 位置向量 109

54．定比分点向量 111

55．la/mb/no 112

56．四点在同一平面上的条件 114

§11 向量的分量 116

57．分量的和、差与实数积 117

58．由分量计算大小与定比分点 119

59．平面上的动点 121

§12 向量的内积 123

60．内积(平面) 124

61．内积(空间) 126

62．分量表示内积(平面) 128

63．分量表示内积(空间) 130

64．内积的运算 131

65．向量的大小 133

66．向量的垂直 134

67．向量的夹角 136

68．不等式的证明 138

69．最大与最小 140

70．轨迹与区域 141

71．直线与圆的向量方程 143

72．三角函数的加法定理 145

§13 直续与平面的方程 146

73．直线的方程 148

74．二直线的垂直条件 150

75．平面的方程 151

76．平面的参数方程 154

§14 直线、平面与球 155

77．平面和垂线 157

78．二平面的夹角 158

79．方向余弦 160

80．球和切平面 162

81．方幂定理 163

82．旋转体的方程 165

83．列向量 167

§15 向量在图形上的应用 168

84．平面图形(1) 170

85．平面图形(2) 172

86．空间图形(1) 173

87．空间图形(2) 175

第三章 微分 177

§16 平均变化率和导数 177

88．平均变化率 178

89．导数 180

90．导数和极限值 182

91．导数的存在 184

§17 导数 186

92．根据定义求导数 187

93．微分法(1) 188

94．微分法(2) 190

95．二重因式与剩余 192

§18 切线 194

96．曲线上的点的切线与法线 195

97．曲线外的点引的切线与法线 197

98．斜率与切线 199

99．与定直线相切的条件 200

100．直线与曲线相切的条件 202

101．二曲线相切的条件 204

102．关于切线的问题 205

103．切线与递推式 207

§19 速度与加速度 208

104．速度(1) 209

105．速度(2) 210

106．对时间的变化率 211

§20 函数的增减与图象 213

107．增(减)函数 215

108．函数酌增减与极值(1) 216

109．函数的增减与极值(2) 218

110．极值与决定系数 219

111．三次函数有极值的条件 221

112．四次函数有极值的条件 222

113．取极值的各种条件(1) 224

114．取极值的各种条件(2) 226

115．极值的变动与轨迹 228

§21 最大值与最小值 230

116．函数的最大与最小 230

117．分情况的最大与最小 231

118．平面图形的最大与最小 233

119．空间图形的最大与最小(1) 234

120．空间图形的最大与最小(2) 236

121．整数变数的最大与最小 238

§22 在方程与不等式上的应用 239

122．方程的实根的个数 241

123．实根与系数的条件(1) 243

124．实根与系数的条件(2) 244

125．区别情况实根的个数 246

126．切线的数与方程的根 247

127．不等式成立的条件 249

128．不等式的证明(1) 251

129．不等式的证明(2) 253

习题解答 255

182．矩阵积(1) 332

§23 不走积分 423

第四章 积分 423

130．不定积分 424

131．积分常数与函数的确定(1) 426

132．积分常数与函数的确定(2) 428

§24 定积分 430

133．定积分的值(1) 431

134．定积分的值(2) 433

135．定积分的区间划分(1) 435

136．定积分的区间划分(2) 437

137．定积分和系数的条件 438

138．定积分与恒等式 440

139．端点是变数的定积分 441

140．含有参变数的定积分 443

141．用定积分表示的函数和微分(1) 445

142．用定积分表示的函数和微分(2) 446

143．用定积分表示的函数的极大·极小 448

144．不等式的证明(1) 449

145．不等式的证明(2) 451

§25 面积 453

146．二曲线间的面积：∫baf(x)dx形 455

147．二曲线间的面积：∫bcg(y)dy形 457

148．由各种曲线所包围的面积 459

149．抛物线与直线所包围的面积 460

150．抛物线与直线所包围的面积|a|/6(β-α)3 462

151．曲线与其切线所围成的图形面积(1) 464

152．曲线与其切线所围成的图形面积(2) 466

153．曲线与公切线所围成的图形面积 468

154．函数的确定 470

155．面积的分割 471

156．分情形来求而积 473

157．面积的最大·最小(1) 475

158．面积的最大·最小(2) 476

159．算术平均与几何平均定理的应用 478

160．利用定积分确定大小关系 480

161．连续事件的概率 481

§26 体积 483

162．以x轴为旋转轴 485

163．以y轴为旋转轴 487

164．非旋转体 488

165．旋转体的和(差)(1) 490

166．旋转体的和(差)(2) 492

167．区域的旋转和体积 494

168．体积的分割 496

169．体积的最大·最小(1) 497

170．体积的最大·最小(2) 499

171．容器的形状 501

§27 速度与位置·路程 503

173．速度与位置(2) 505

172．速度与位置(1) 505

171．速度与路程(1) 508

175．速度与路程(2) 509

176．速度与路程(3) 511

177．速度与加速度 513

第五章 矩阵 515

§28 矩阵的基本性质 515

178．矩阵的概念与相等 519

189．逆矩阵(1) 519

179．矩阵的加减 521

§29 一次变换与矩阵 523

180．一次变换与矩阵 528

181．一次变换的性质 530

183．矩阵积(2) 535

184．单位矩阵 537

185．矩阵与概率 539

186．一次变换的复合 541

§30 特殊矩阵及其性质 543

187．对角矩阵·转置矩阵 545

188．对称矩阵·反对称矩阵 546

190．逆矩阵(2) 551

191．止则矩阵与逆矩阵 553

192．一次变换与逆变换 555

§31 方程组与矩阵 557

193．逆矩阵与方程组 562

194．用高斯消去法解方程组 563

195．用高斯消去法求逆矩阵 565

196．逆矩阵的应用 567

§32 图形的一次变换 569

197．对称变换与相似变换 573

198．伸缩变换·错动变换 575

199．图形不变的一次变换 577

200．一次变换的性质 579

201．特殊变换 581

202．—次变换的固有值 582

202．固有值数列的应用 584

§33 旋转移动和加法定理 588

204．旋转移动 590

205．正交变换 591

206．旋转的复合 593

207．加法定理 595

208．等式的正明 597

209．加法定理的应用 599

210．倍角公式 600

211．倍角·半角公式 602

212．三倍角公式 604

213．应用陪角·半角公式的证明问题 606

214．三角函数的合成 608

§34 正则矩阵的集合与群 610

215．群 611

216．矩阵集合与群 615

§35 公理·定理·定义 620

第六章 平面几何的公理体系 620

217．三角形全等条件 623

218．平行线与角 625

219．论证的方法 626

§36 复习基本定理 628

220．平行四边形与中点连线定理 630

221．平行线与比例 632

222．相似形 633

223．毕达哥拉斯定理(商高定理) 635

224．中线定理 636

§37 基本定理的补充 638

225．三角形的边与角的大小关系 641

226．两个三角形边与角的大小 642

227．三角形的五心 644

228．圆和四边形 646

229．圆幂定理 648

230．面积与比例 649

231．非调和比 651

§38 图形的变换 653

232．平行移动 655

233．对称移动 657

234．旋转移动 658

235．各种变换 660

§39 关于图形的计算问题 662

236．长度 664

237．比例与长度 665

238．比的角平分线移动 667

239．多边形的面积 669

240．圆与扇形 671

241．内切圆 673

242．最大·最小 674

§40 各种公理群 676

242．几何公理 676

244．代数公理 679

245．关于大小的公理 782

习题解答 785