非线性演化方程的稳定性与分歧PDF电子书下载

第一章 从自然观点看微分方程 1

1.1　自然定律与方程 1

1.2　运动类型与方程分类 3

1.2.1 典的分类 3

1.2.2　耗散结构的方程 4

1.3　方程解的形态 8

1.3.1　定态解 9

1.3.2　全局解 10

1.3.3　爆破解 10

1.3.4　周期解 11

1.3.5　行波解 11

1.3.6　正解 12

1.3.7　弱解 13

1.4　稳定性问题 16

1.4.1　Lyapunov稳定性 16

1.4.2　Kolmogorov稳定性 18

1.4.3 结构稳定性 20

1.5　分歧现象 22

1.5.1　对称磁场中的摆 22

1.5.2　Kaldor模型的经济周期 26

1.5.3　流体的边界层分离与内部分离 28

1.6　混沌现象 34

1.7　评注 39

第二章 稳定性与分歧的数学基础 40

2.1　反函数与隐函数定理 40

2.1.1　反函数定理 40

2.1.2　隐函数定理 41

2.2　拓扑度理论基础 45

2.2.1　Sard定理 45

2.2.2　Brouwer度定义——分析方法 48

2.2.3　流形上Brouwer映射度 49

2.2.4　Brouwer度——拓扑方法 52

2.2.5　Brouwer度的基本性质 55

2.2.6　Brouwer度的主要定理 57

2.2.7　Leray-Schauder度 59

2.2.8　孤立奇点的指标 60

2.3　线性算子半群 62

2.3.1　动机 62

2.3.2　强连续半群 64

2.3.3　扇形算子和解析半群 67

2.3.4　分数次空间与算子 69

2.4　中心流形定理 71

2.4.1　双曲不变流形 71

2.4.2　Rn的中心流形 75

2.4.3　无穷维系统的中心流形 77

2.4.4　中心流形函数的构造 79

2.5　偏微分方程中的解析半群 80

2.5.1　Sobolev空间 80

2.5.2　椭圆算子的正则性估计 82

2.5.3　各类微分算子的生成半群 83

2.6　评注 88

第三章 稳定性理论 89

3.1　Lyapunov稳定性 89

3.1.1　Rn中系统的Lyapunov稳定性定理 89

3.1.2　局部渐近稳定性 93

3.2　经典的全局吸引子存在性理论 95

3.2.1　基本概念 95

3.2.2　全局吸引子存在性 98

3.2.3　吸引子的摄动稳定性 100

3.2.4　变分结构演化方程全局吸引子 101

3.3　C条件全局吸引子存在性理论 106

3.3.1　非紧致性测度 107

3.3.2　全局吸引子存在性的充要条件 108

3.3.3　非线性演化方程全局吸引子 111

3.4　临界状态的稳定性 115

3.4.1　正交算子临界态的稳定性 116

3.4.2　有限维情况 119

3.5　评注 124

第四章 定态分歧 125

4.1　线性全连续场谱理论 125

4.1.1　线性全连续场的特征值 125

4.1.2　谱定理 127

4.1.3　特征值的渐近性质 133

4.2　Lyapunov-Schmidt约化 136

4.2.1　定态分歧问题介绍 136

4.2.2　Lyapunov-Schmidt过程 139

4.2.3　约化过程的规范化 143

4.2.4　分歧解的正则性及Morse指数 148

4.3　经典的分歧理论 152

4.3.1　从奇重特征值处的分歧定理 152

4.3.2　势算子的分歧定理 155

4.3.3　Rabinowitz全局分歧定理 158

4.4　从高阶非退化奇点的分歧 161

4.4.1　偶数阶非退化奇点 164

4.4.2　从几何单特征值（r=1）的分歧 170

4.4.3　关于r=k=2的分歧 171

4.4.4　约化方程的一阶近似为势算子 176

4.4.5　在椭圆方程组中的应用 178

4.5　选择性方法 180

4.5.1　介绍 180

4.5.2　选择性分歧定理 182

4.5.3　一般原理 186

4.5.4　含次线性项的椭圆方程分歧 187

4.5.5　二阶椭圆方程正解的全局分歧 190

4.6　从非线性齐次项的分歧 196

4.6.1　分歧定理 196

4.6.2　一些应用 200

4.7　评注 203

第五章 有限维系统的动态分歧理论 204

5.1　吸引子分歧 204

5.1.1 吸引子分歧的基本原理 204

5.1.2　主要定理 206

5.1.3　吸引子的稳定性 208

5.1.4　主要定理的证明 212

5.1.5　分歧吸引子的结构 216

5.1.6　广义Hopf分歧 218

5.2　不变闭流形 220

5.2.1　双曲不变流形 220

5.2.2　Sm球面吸引子分歧 224

5.3　动态分歧的结构稳定性 230

5.3.1　主要定理 230

5.3.2　主要定理的证明 232

5.4　评注 241

第六章 非线性耗散系统的动态分歧与跃迁 242

6.1　中心流形函数近似解法 242

6.1.1　一阶近似公式 242

6.1.2　中心流形上的约化 245

6.2　Sm吸引子分歧定理 245

6.2.1　关于时间一阶导数方程 245

6.2.2　关于时间二阶导数的方程 247

6.3　跃迁理论的一般原理 252

6.3.1　基本概念和问题 252

6.3.2　跃迁类型的判别 254

6.4　从单特征值的跃迁 255

6.4.1　实单特征值情况 255

6.4.2　复单特征值情况 258

6.4.3　鞍结点分歧 264

6.5　从双重特征值的跃迁 267

6.5.1　一个指标公式 267

6.5.2　主要定理 270

6.5.3　主要定理的证明 274

6.5.4　k阶非退化奇点 285

6.5.5　周期轨道的分歧 289

6.5.6　一个例子 292

6.6　摄动系统的跃迁理论 294

6.6.1　一般情况 294

6.6.2　单特征值情况 297

6.6.3　复单特征值情况 301

6.7　评注 308

第七章 物理与化学中耗散系统相变的数学理论 309

7.1　非线性科学动力学原理 309

7.1.1　耗散系统的非平衡相变 309

7.1.2　跃迁理论的科学意义 312

7.2　Belousov-Zhabotinsky型化学反应 315

7.2.1　Field-Noyes方程 315

7.2.2　数学框架 317

7.2.3　相变定理 321

7.2.4　化学意义评述 322

7.3　二元体的相分离 324

7.3.1　Cahn-Hilliard方程 324

7.3.2　方程的标准化 325

7.3.3　Neumann边界条件 327

7.3.4　周期边界条件 337

7.3.5　物理意义评述 339

7.4　Kuramoto-Sivashinsky方程 342

7.4.1　数学框架 342

7.4.2　S1吸引子 343

7.5　复Ginzburg-Landau方程 346

7.5.1　数学问题 346

7.5.2　Dirichlet边界条件 348

7.5.3　周期边界条件 350

7.6　评注 351

第八章 典型物理问题的动态分歧与跃迁 352

8.1　二维不可压缩流几何理论简介 352

8.1.1　介绍与预备 352

8.1.2　结构稳定性定理 353

8.1.3　指标公式 354

8.2　超导体的相变 356

8.2.1　动态Ginzburg-Landau方程 356

8.2.2　数学框架及特征值问题 360

8.2.3　Ginzburg-Landau方程的相变定理 363

8.2.4　物理意义评述 371

8.3　Rayleigh-Benard对流 376

8.3.1　Benard实验 376

8.3.2　Boussinesq方程 377

8.3.3　Rayleigh-Benard问题的吸引子分歧 379

8.3.4　Benard对流卷结构 384

8.3.5　关于流体动力学的评论 390

8.4　Taylor问题 392

8.4.1　Taylor实验与Taylor漩涡 392

8.4.2　控制方程 393

8.4.3　小间隙情况 396

8.4.4　z周期边界条件 399

8.4.5　其他边界条件 409

8.4.6　Taylor漩涡结构 413

8.4.7　关于流体动力学的解释 417

8.5　赤道上大气层的Walker环流 419

8.5.1　赤道上的Walker环流 419

8.5.2　大气动力学基本方程 420

8.5.3　赤道上大气环流方程 423

8.5.4　Walker环流及其稳定性 425

8.5.5　定理8.23的证明 426

8.5.6　关于大气物理的评论 432

8.6　评注 433

参考文献 434

《现代数学基础丛书》出版书目 439