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第一章 函数、极限和连续 1

第一节 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的性质 4

三、反函数 5

四、复合函数 7

五、基本初等函数和初等函数 7

六、模型举例 8

习题1-1 9

第二节 数列的极限 10

一、问题的提出 10

二、数列的极限 11

习题1-2 16

第三节 函数的极限 17

一、当x→∞时函数y=f（x）的极限 17

二、当x→x0时函数y=f（x）的极限 19

三、函数极限的性质 23

习题1-3 25

第四节 无穷小量和无穷大量 26

一、无穷小量 26

二、无穷大量 28

习题1-4 30

第五节 极限的运算法则 两个重要极限 31

一、极限的运算法则 31

二、两个重要极限 35

习题1-5 40

第六节 无穷小量的比较 41

习题1-6 43

第七节 函数的连续性 43

一、函数连续的概念 43

二、函数的间断点 46

习题1-7 49

第八节 连续函数的运算 50

一、连续函数的四则运算 50

二、反函数的连续性 50

三、复合函数的连续性 51

四、初等函数的连续性 52

习题1-8 53

第九节 闭区间上连续函数的性质 54

习题1-9 56

综合练习题一 56

第二章 一元函数微分学 58

第一节 导数的概念 58

一、引例 58

二、导数的定义 59

三、用导数的定义求导数 61

四、导数的几何意义 63

五、函数的可导性与连续性之间的关系 63

习题2-1 65

第二节 求导法则 66

一、函数和、差、积、商的求导法则 66

二、复合函数的求导法则 68

三、反函数的导数 70

四、高阶导数 74

五、隐函数的导数 77

六、由参数方程所确定的函数的导数 79

习题2-2 81

第三节 函数的微分 84

一、微分的概念 84

二、微分的基本公式及运算法则 87

三、微分的应用 89

习题2-3 92

第四节 中值定理 93

一、罗尔（Rolle）定理 93

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 94

三、柯西（Cauchy）中值定理 96

习题2-4 98

第五节 罗必塔法则 98

一、0/0和∞/∞型未定式的极限 98

二、其他类型未定式的极限 100

习题2-5 102

第六节 函数的单调性与极值 103

一、函数的单调性及其判别法 103

二、函数的极值 105

三、最大值与最小值 108

习题2-6 110

第七节 曲线的凹凸性及函数图形的描绘 111

一、曲线的凹凸性与拐点 112

二、曲线的渐近线 114

三、函数图形的描绘 115

习题2-7 117

第八节 微分学应用实例 117

一、边际分析 117

二、弹性分析 119

三、成本与利润的最佳化 121

习题2-8 122

综合练习题二 122

第三章 一元函数积分学 126

第一节 不定积分的概念及其性质 126

一、原函数和不定积分的概念 126

二、不定积分的基本性质 128

三、基本积分公式 128

习题 3-1 130

第二节 定积分的概念和性质 131

一、两个引例 131

二、定积分的定义 133

三、定积分的几何意义 134

四、定积分的性质 135

习题 3-2 138

第三节 微积分基本公式 138

一、积分上限的函数及其导数 139

二、牛顿—莱布尼兹公式 140

习题 3-3 144

第四节 换元积分法 145

一、第一类换元法 145

二、第二类换元法 151

三、定积分的换元法 157

习题 3-4 160

第五节 分部积分法 163

一、不定积分的分部积分法 163

二、定积分的分部积分法 167

习题 3-5 169

第六节 广义积分 170

一、无限区间上的广义积分 170

二、有无穷间断点的广义积分 173

习题 3-6 175

第七节 定积分的应用 175

一、定积分的元素法 176

二、定积分在几何上的应用 177

三、定积分在物理和经济上的应用 181

习题 3-7 186

综合练习题三 188

第四章 微分方程 192

第一节 微分方程的基本概念 192

习题4-1 194

第二节 一阶微分方程 194

一、可分离变量的一阶微分方程 195

二、一阶齐次微分方程 203

习题4-2 204

第三节 一阶线性微分方程 205

习题4-3 211

第四节 几种可降阶的二阶微分方程 212

一、y(n)=f（x）型的微分方程 212

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 212

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 213

习题4-4 216

第五节 二阶常系数线性微分方程 216

一、二阶常系数齐次线性微分方程 216

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 220

习题4-5 225

第六节 差分方程 226

一、差分与差分方程的基本概念 226

二、一阶常系数线性差分方程 228

三、二阶常系数线性差分方程 229

四、差分方程在经济中的应用 232

习题4-6 233

综合练习题四 234

第五章 空间解析几何与向量代数 236

第一节 空间直角坐标系 236

一、空间点的直角坐标 236

二、点的坐标 236

三、空间两点间的距离 237

习题5-1 238

第二节 曲面及其方程 238

一、曲面方程的概念 238

二、空间中的平面及其方程 239

三、球面 240

四、柱面 240

五、旋转曲面 241

六、二次曲面 242

习题5-2 244

第三节 空间曲线及其方程 245

一、空间曲线的一般方程 245

二、空间曲线的参数方程 246

三、空间曲线在坐标面上的投影 246

习题5-3 248

第四节 向量及其线性运算 248

一、向量的概念 248

二、向量的加减法 249

三、向量与数的乘法 250

习题5-4 251

第五节 向量的坐标 251

一、向量的分解与向量的坐标 251

二、向量线性运算的坐标表示法 252

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 253

四、向量在坐标轴上的投影与向量的坐标 254

习题5-5 255

第六节 向量的数量积 向量积 255

一、两向量的数量积 256

二、两向量的向量积 257

习题5-6 259

第七节 平面及其方程 260

一、平面的点法式方程 260

二、平面的一般式方程 261

三、两平面的夹角 262

四、点到平面的距离 263

习题5-7 264

第八节 空间直线及其方程 264

一、空间直线的点向式方程与参数式方程 264

二、空间直线的一般式方程 265

三、两直线的夹角 266

四、直线与平面的夹角 267

五、直线与平面的交点 267

六、点在直线或平面上的投影 268

习题5-8 268

综合练习题五 269

第六章 多元函数微积分学 271

第一节 多元函数 271

一、区域 271

二、多元函数的概念 273

三、多元函数的极限 275

四、多元函数的连续性 276

习题6-1 277

第二节 偏导数与全微分 278

一、偏导数 278

二、高阶偏导数 281

三、全微分 282

习题6-2 285

第三节 多元复合函数与隐函数的求导法 286

一、多元复合函数的求导法 286

二、隐函数的求导法 291

习题6-3 294

第四节 多元函数的极值 295

一、多元函数的极值概念及求法 296

二、多元函数的最大值与最小值的应用 297

三、条件极值 拉格朗日乘数法 298

习题6-4 301

第五节 二重积分的概念和性质 301

一、二重积分的概念 301

二、二重积分的性质 303

习题6-5 304

第六节 二重积分的计算 305

一、利用直角坐标计算二重积分 305

习题6-6（1） 312

二、利用极坐标计算二重积分 313

三、二重积分的一般变量替换 316

习题6-6（2） 318

综合练习题六 320

第七章 无穷级数 322

第一节 常数项级数的概念与性质 322

一、常数项级数的概念 322

二、级数收敛的必要条件 324

三、收敛级数的基本性质 324

习题7-1 326

第二节 数项级数的审敛法 326

一、正项级数及其审敛法 326

习题7-2（1） 331

二、交错级数及其审敛法 332

三、绝对收敛与条件收敛 334

习题7-2（2） 336

第三节 幂级数 336

一、函数项级数的概念 336

二、幂级数及其收敛性 337

三、幂级数的运算及其性质 340

习题7-3 342

第四节 函数展开成幂级数 343

一、泰勒级数 343

二、函数展开成幂级数的条件 344

三、初等函数间接展开成幂级数 346

四、欧拉公式 349

习题7-4 350

综合练习题七 351

习题与综合练习题参考答案 353

附录Ⅰ 基本初等函数的图形及性质 375

附录Ⅱ 积分表 378

参考书目 386