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第一章 极限论 1

第一节 微积分的一些基本问题 1

一、面积问题 1

二、切线问题 4

三、变速直线运动的瞬时速度问题 5

第二节 函数 6

一、函数的概念 7

二、函数的几种特性 8

三、函数的延拓 10

四、复合函数与反函数 11

五、初等函数 12

习题1-2 13

第三节 数列的极限 14

一、数列极限的定义 15

二、数列极限的性质 19

三、数列极限的四则运算法则 22

四、内在收敛判别法：单调有界准则；Cauchy收敛原理 23

习题1-3 29

第四节 函数的极限 30

一、函数极限的概念 30

二、函数极限的精确定义 32

三、函数极限的性质 38

四、利用极限的运算法则计算极限 42

五、无穷小量与无穷大量 45

习题1-4 48

第五节 函数的连续性 49

一、连续函数的概念 50

二、间断点的分类 53

三、连续函数的运算，初等函数的连续性 54

四、无穷小量的比较 59

五、闭区间上连续函数的性质 62

习题1-5 66

总习题一 67

第二章 导数与微分 71

第一节 切线、速度和其他的变化率问题 71

一、切线问题 71

二、速度问题 72

三、其他的变化率问题 73

第二节 导数的定义与几个基本的求导公式 77

一、导数的定义 77

二、导数的几何意义 79

三、几个基本初等函数的导数公式 79

四、利用导数的定义求导数举例 81

五、连续性与可导性的关系 83

习题2-2 85

第三节 求导法则 86

一、导数的四则运算 86

二、反函数的导数 88

三、复合函数的导数 连锁法则 89

四、隐函数的求导法 对数求导法 93

五、由参数方程所确定的函数的导数 96

习题2-3 97

第四节 高阶导数 99

习题2-4 103

第五节 微分与线性逼近 104

一、微分的概念 104

二、微分的运算 107

三、复合函数的微分 一阶微分形式不变性 108

四、微分在近似计算中的应用 109

习题2-5 110

第六节 相关变化率 111

总习题二 113

第三章 中值定理与导数的应用 116

第一节 微分中值定理 116

一、罗尔（Rolle）定理 116

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 118

三、柯西中值定理 121

习题3-1 122

第二节 洛必达法则 123

一、0/0型未定式 123

二、∞/∞型未定式 126

三、其他类型的未定式 126

习题3-2 128

第三节 泰勒公式 129

一、问题的提出 129

二、泰勒公式 130

习题3-3 136

第四节 函数的单调性 137

习题3-4 139

第五节 函数的极值与最大值最小值 140

一、函数的极值及其求法 140

二、函数的最大值和最小值问题 145

习题3-5 149

第六节 函数图形的凹凸性及拐点 150

习题3-6 154

第七节 函数图形的描绘 155

一、渐近线 155

二、函数图形的描绘 156

习题3-7 158

第八节 曲率 159

一、弧微分 159

二、曲率及其计算公式 161

三、曲率圆和曲率半径 165

习题3-8 166

第九节 方程的近似解 166

一、二分法 166

二、切线法 168

习题3-9 169

总习题三 170

第四章 不定积分 174

第一节 不定积分的概念与性质 174

一、原函数与不定积分的概念 174

二、不定积分的几何意义 176

三、基本积分表 177

四、不定积分的性质 178

习题4-1 180

第二节 换元积分法 181

一、第一类换元法（凑微分法） 182

二、第二类换元法 185

习题4-2 189

第三节 分部积分法 191

习题4-3 195

第四节 几种特殊类型函数的积分 195

一、有理函数的积分 195

二、三角函数有理式的积分 200

三、简单无理函数的积分 202

习题4-4 203

总习题四 204

第五章 定积分 207

第一节 定积分的概念与性质 207

一、积累问题举例 207

二、定积分的定义 211

三、定积分存在的条件 213

四、定积分的几何意义 214

五、定积分的性质 216

习题5-1 220

第二节 微积分基本定理 222

一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 222

二、变限函数及其导数 223

三、牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 226

习题5-2 229

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 231

一、定积分的换元积分法 231

二、定积分的分部积分法 235

习题5-3 237

第四节 广义积分 240

一、无穷区间上的广义积分 240

二、无界函数的广义积分 243

习题5-4 247

第五节 广义积分收敛性的判别法 248

一、无穷区间上的广义积分收敛性的判别法 248

二、无界函数的广义积分的收敛性判别法 252

三、Γ函数 254

习题5-5 256

第六节 定积分的近似计算 256

一、矩形法 257

二、梯形法 258

三、抛物线法 258

习题5-6 263

总习题五 264

第六章 定积分的应用 268

第一节 定积分的元素法 268

第二节 定积分的几何应用 270

一、平面图形的面积 270

二、体积 275

三、平面曲线的弧长 279

习题6-2 283

第三节 定积分在物理学中的应用 284

一、变力沿直线运动所作的功 284

二、液体的压力 287

三、引力 290

习题6-3 291

第四节 定积分的其他应用 292

一、定积分的经济应用 292

二、函数的平均值 293

三、均方根 295

习题6-4 296

总习题六 296

习题答案 298