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第1章 函数 1

1.1预备知识 1

1.1.1常见的实数集与记号 1

1.1.2实数的绝对值 2

1.1.3邻域 2

1.1.4充分必要条件 3

1.1.5常用三角公式 4

1.1.6极坐标 4

1.2函数 7

1.3具有某种特性的函数 12

1.3.1奇（偶）函数 12

1.3.2有界函数 13

1.3.3单调函数 13

1.3.4周期函数 14

1.4反函数 14

1.5复合函数初等函数 15

1.5.1基本初等函数 15

1.5.2复合函数 20

习题 21

第2章 极限与连续 23

2.1数列极限 23

2.1.1数列的概念 23

2.1.2有界数列的定义 24

2.1.3数列有界的几何意义 24

2.1.4数列单调的定义 24

2.1.5数列极限的直观描述 24

2.1.6数列极限的精确刻画 26

2.1.7数列极限的几何意义 28

2.1.8数列极限的性质 28

习题2.1 29

2.2函数极限 29

2.2.1自变量x趋于无穷大时函数极限的直观描述 31

2.2.2自变量x趋于有限数时函数极限的直观描述 31

2.2.3单侧极限 32

2.2.4自变量x趋于无穷大时极限的精确刻画（ε-X语言） 33

2.2.5 lim f（x）＝A的几何意义 34

2.2.6自变量趋于有限数时函数极限的精确刻画（ε-8语言） 34

2.2.7 lim x→x0 f（x）＝A的几何意义 35

习题2.2 36

2.3有极限的函数的性质和函数极限的运算法则 37

2.3.1函数极限的性质 37

2.3.2极限的运算法则 37

2.3.3复合函数的极限运算法则 41

习题2.3 41

2.4极限的存在准则和两个重要极限 42

2.4.1极限的存在准则 42

2.4.2重要极限之一 45

2.4.3重要极限之二 47

习题2.4 51

2.5无穷小与无穷大 52

2.5.1无穷大的概念 52

2.5.2无穷小的概念 53

2.5.3收敛变量与其极限的关系 53

2.5.4无穷小与无穷大的关系 54

2.5.5无穷小的性质 54

2.5.6无穷小阶的比较 56

习题2.5 59

2.6函数的连续性 60

2.6.1函数在一点处的连续性 60

2.6.2单侧连续 61

2.6.3区间连续 61

2.6.4函数的间断点及其类型 62

2.6.5初等函数的连续性 64

习题2.6 66

2.7闭区间上连续函数的性质 67

习题2.7 69

数学实验一 69

第3章 导数与微分 74

3.1导数概念 74

3.1.1导数概念的引入 74

3.1.2导数的定义 75

3.1.3单侧导数 78

3.1.4导数的几何意义 81

3.1.5函数可导与连续的关系 82

习题3.1 84

3.2求导法则 85

3.2.1四则运算法则 85

3.2.2反函数的求导法则 87

3.2.3复合函数的求导法则 89

3.2.4隐函数求导法 92

3.2.5由参数方程表示函数的导数 95

习题3.2 96

3.3高阶导数 98

3.3.1高阶导数的概念 98

3.3.2高阶导数的运算法则 101

习题3.3 104

3.4函数的微分 105

3.4.1微分的定义 106

3.4.2微分的几何意义 107

3.4.3基本初等函数的微分公式 108

3.4.4函数和、差、积、商的微分法则 108

3.4.5微分形式的不变性 109

3.4.6微分在近似计算中的应用 110

习题3.4 111

数学实验二 112

第4章 中值定理与导数的应用 115

4.1中值定理 115

4.1.1罗尔定理 115

4.1.2拉格朗日中值定理 117

4.1.3柯西定理 119

习题4.1 120

4.2洛必达法则 121

4.2.1洛必达法则Ⅰ（0/0型不定式） 122

4.2.2洛必达法则Ⅱ（∞/∞型不定式） 123

4.2.3其他不定式（0·∞，∞1—∞2，1∞，00，∞0） 124

习题4.2 127

4.3函数单调性和凹凸性 128

4.3.1函数单调性的判定法 128

4.3.2确定函数单调区间的步骤 129

4.3.3曲线的凹凸性及其判别法 130

4.3.4确定函数凹凸区间的步骤 132

习题4.3 133

4.4函数的极值与最值 134

4.4.1函数的极值及其判别条件 134

4.4.2求函数f（x）的极值的步骤 135

4.4.3闭区间上连续函数最值的求法 138

4.4.4最值问题举例 138

习题4.4 140

4.5不等式的证明 141

4.5.1利用单调性证明不等式 141

4.5.2利用微分中值定理证明不等式 142

4.5.3利用函数的凹凸性证明不等式 142

4.5.4利用函数的极值和最值证明不等式 143

习题4.5 144

4.6函数图形的描绘 144

4.6.1曲线的渐近线 145

4.6.2函数作图的步骤 146

习题4.6 147

数学实验三 147

第5章 不定积分 150

5.1不定积分的概念与性质 150

5.1.1原函数与不定积分的概念 150

5.1.2不定积分的性质 153

5.1.3不定积分的几何意义 153

5.1.4不定积分基本公式 154

习题5.1 158

5.2换元积分法 159

5.2.1第一换元积分法（凑微分法） 159

5.2.2第二换元积分法 166

习题5.2 170

5.3分部积分法 175

5.3.1分部积分法 175

5.3.2循环积分与递推公式 178

5.3.3分部积分速算法——竖式算法 179

习题5.3 182

5.4几种特殊函数的积分 183

5.4.1有理函数的积分 183

5.4.2三角函数有理式的积分 188

5.4.3简单无理函数的积分 193

习题5.4 194

5.5积分表的使用方法 195

5.5.1可直接查表的积分 195

5.5.2进行变量代换，再查表 196

5.5.3用递推公式 196

习题5.5 197

第6章 定积分及其应用 198

6.1定积分的概念与性质 198

6.1.1定积分的定义 199

6.1.2定积分的几何意义 201

6.1.3定积分的性质·积分中值定理 202

习题6.1 204

6.2定积分的计算 205

6.2.1变限函数及其导数 205

6.2.2微积分基本公式 208

6.2.3定积分的换元积分法 211

6.2.4定积分的分部积分法 214

习题6.2 219

6.3广义积分 221

6.3.1广义积分的概念 221

6.3.2广义积分的计算 223

6.3.3两个重要的广义积分 224

习题6.3 225

6.4定积分的应用 226

6.4.1微元法 226

6.4.2平面图形的面积 227

6.4.3旋转体的体积 231

6.4.4平行截面面积为已知的立体的体积 234

6.4.5平面曲线的弧长 235

习题6.4 237

数学实验四 238

第7章 空间解析几何与向量代数 242

7.1空间直角坐标系 242

7.1.1空间点的直角坐标 242

7.1.2两点间的距离公式 243

7.1.3柱坐标系 244

7.1.4球坐标系 246

习题7.1 247

7.2向量及其加减法数与向量的乘积 248

7.2.1向量的概念 248

7.2.2向量及其加减法 249

7.2.3数与向量的乘积 250

习题7.2 251

7.3向量的坐标 251

7.3.1向量的坐标 251

7.3.2向量的坐标运算 252

习题7.3 255

7.4数量积 向量积 混合积 256

7.4.1向量的数量积 256

7.4.2数量积的坐标表示 257

7.4.3向量的向量积 258

7.4.4向量积的坐标表示 259

7.4.5向量的混合积 261

7.4.6混合积的坐标表示 261

习题7.4 263

7.5平面及其方程 263

7.5.1平面的方程及其方程的几种类型 264

7.5.2两平面的位置关系 267

7.5.3点到平面的距离 268

习题7.5 270

7.6空间直线及其方程 271

7.6.1直线方程的几种类型 271

7.6.2两直线的夹角 274

7.6.3直线与平面的位置关系 275

7.6.4点到直线的距离 276

7.6.5杂例 278

习题7.6 279

7.7曲面及其方程 280

7.7.1一般曲面 280

7.7.2旋转曲面 281

7.7.3柱面 282

7.7.4二次曲面 284

习题7.7 291

7.8空间曲线及其方程 292

7.8.1空间曲线的一般方程 292

7.8.2空间曲线的参数方程 293

7.8.3空间曲线在坐标面上的投影 294

习题7.8 295

数学实验五 296

习题参考答案 300

参考文献 328