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第4章 向量代数与空间解析几何 1

4.1 空间直角坐标系 1

习题4.1 4

4.2 向量及其运算 4

4.2.1 向量的概念 4

4.2.2 向量的加减法 5

4.2.3 向量与数的乘法 7

习题4.2 8

4.3 向量的空间坐标 8

4.3.1 向量的分解与向量空间坐标的定义 8

4.3.2 向量在轴上的投影 10

4.3.3 向量的模与方向余弦的坐标表示式 13

4.3.4 向量的数量积 14

4.3.5 向量的向量积 17

习题4.3 20

4.4 空间曲面与曲线 20

4.4.1 空间曲面的方程 20

4.4.2 空间曲线的方程 21

4.4.3 几种常见的空间曲面 23

4.4.4 空间曲面和曲线在坐标平面上的投影 24

习题4.4 26

4.5 空间平面和直线方程 27

4.5.1 空间平面方程 27

4.5.2 空间直线方程 32

习题4.5 36

4.6 二次曲面 37

习题4.6 46

第5章 多元函数微分学及其应用 46

5.1 多元函数的基本概念 48

5.1.1 多元函数的概念 48

5.1.2 二元函数的极限与连续 50

习题5.1 52

5.2 偏导数 53

5.2.1 偏导数的概念及其计算 53

5.2.2 高阶偏导数 57

习题5.2 60

5.3 全微分 61

5.3.1 全微分的概念 61

5.3.2 函数可微的条件 62

习题5.3 66

5.4 多元复合函数求导法则 66

习题5.4 74

5.5 隐函数及其求导法 74

习题5.5 84

5.6 多元微分在几何上的应用 84

5.6.1 空间曲线的切线与法平面 84

5.6.2 空间曲面的切平面与法线 86

习题5.6 88

5.7 多元函数的极值与最大（小）值 89

5.7.1 多元函数的极值 89

5.7.2 条件极值拉格朗日乘数法 94

习题5.7 97

5.8 方向导数与梯度 98

5.8.1 方向导数 98

5.8.2 梯度 101

习题5.8 105

本章综合练习题 105

第6章 多元函数积分学——重积分 105

6.1 重积分的概念与性质 107

6.1.1 重积分概念的背景 107

6.1.2 重积分的定义 109

6.1.3 重积分的性质 110

习题6.1 112

6.2 二重积分的计算 113

6.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 113

6.2.2 在极坐标系下计算二重积分 116

6.2.3 利用积分区域的对称性计算二重积分 119

6.2.4 二重积分的变量替换 120

习题6.2 123

6.3 三重积分的计算 125

6.3.1 空间直角坐标系下计算三重积分 125

6.3.2 利用柱坐标系计算三重积分 128

6.3.3 利用球坐标系计算三重积分 130

习题6.3 133

6.4 重积分的应用 133

6.4.1 几何应用 134

6.4.2 物理应用 136

习题6.4 142

第7章 多元函数积分学——线面积分 142

7.1 第一型曲线积分和曲面积分 143

7.1.1 引例——曲线形构件的质量问题 143

7.1.2 第一型线、面积分的概念和性质 145

7.1.3 第一型曲线积分的计算 146

7.1.4 第一型曲面积分的计算 149

习题7.1 152

7.2 第二型曲线积分 153

7.2.1 引例——变力沿曲线做功问题 153

7.2.2 第二型曲线积分的概念与性质 154

7.2.3 第二型曲线积分的计算 155

7.2.4 两型曲线积分的关系 158

习题7.2 160

7.3 第二型曲面积分 160

7.3.1 有向曲面 160

7.3.2 引例——流量问题 161

7.3.3 第二型曲面积分的概念与性质 162

7.3.4 第二型曲面积分的计算 164

7.3.5 两型曲面积分的关系 167

习题7.3 167

7.4 多元微积分学基本公式 168

7.4.1 Green公式 168

7.4.2 Gauss公式 178

7.4.3 Stokes公式 181

习题7.4 185

7.5 场论初步 186

7.5.1 场的基本概念 186

7.5.2 通量与散度 187

7.5.3 环流量与旋度 190

习题7.5 192

多元函数积分学综合练习题 192

第8章 无穷级数 195

8.1 常数项级数的概念和性质 195

8.1.1 常数项级数的概念 195

8.1.2 无穷级数的基本性质 196

习题8.1 199

8.2 常数项级数的审敛法 199

8.2.1 正项级数及其审敛法 199

8.2.2 交错级数 207

8.2.3 绝对收敛与条件收敛 208

习题8.2 210

8.3 幂级数 211

8.3.1 函数项级数的概念 211

8.3.2 幂级数及其收敛性 211

8.3.3 幂级数的性质及幂级数的和函数 215

习题8.3 218

8.4 函数展开成幂级数 219

8.4.1 泰勒级数 219

8.4.2 函数展开为幂级数 221

习题8.4 225

8.5 函数的幂级数展开式的应用 226

8.5.1 计算函数的近似值 226

8.5.2 计算定积分的近似值 227

8.5.3 欧拉公式 228

习题8.5 228

8.6 傅里叶（Fourier）级数 229

8.6.1 三角函数系的正交性 229

8.6.2 函数展开成傅里叶级数（Fourier seriers） 230

习题8.6 238

本章综合练习题 239

第9章 常微分方程 241

9.1 微分方程中的基本概念 241

9.1.1 微分方程 241

9.1.2 微分方程的解 242

9.1.3 例题 243

9.1.4 微分方程有关知识的扩展 244

习题9.1 245

9.2 一阶微分方程 246

9.2.1 可分离变量的微分方程 246

9.2.2 可化为变量可分离的方程 248

9.2.3 一阶线性微分方程 251

9.2.4 伯努利方程 253

9.2.5 全微分方程（恰当方程）与积分因子 254

习题9.2 257

9.3 可降阶的高阶微分方程 258

9.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程 259

9.3.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 259

9.3.3 y″=f（y,y′）型的微分方程 260

习题9.3 262

9.4 高阶线性微分方程 262

9.4.1 高阶线性方程解的结构 262

9.4.2 降阶法与常数变易法 265

习题9.4 268

9.5 常系数线性微分方程 268

9.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 269

9.5.2 二阶常系数非齐次线性方程解法 271

9.5.3 可以化为常系数线性微分方程的方程及方程组 274

习题9.5 275

9.6 微分方程的应用 275

9.6.1 增长和衰减问题 276

9.6.2 温度问题 278

9.6.3 几何问题 278

9.6.4 气体含量问题 279

9.6.5 流量问题 280

9.6.6 振动问题 280

习题9.6 283

本章综合练习题 283

部分习题答案 285

参考文献 301