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第1章　函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2　函数的几种特性 2

1.1.3　复合函数 3

1.1.4　初等函数 4

练习1-1 4

1.2　极限 5

1.2.1　极限的概念 5

1.2.2　极限的四则运算 7

1.2.3　两个重要极限 9

1.2.4　无穷小量与无穷大量 11

练习1-2 13

1.3　函数的连续性 13

1.3.1　函数连续的概念 13

1.3.2　函数的间断点 15

1.3.3　初等函数的连续性 16

1.3.4 闭区间连续函数的性质 18

练习1-3 18

1.4　本章小结 19

习题一 19

第2章　导数与微分 22

2.1　导数的概念 22

2.1.1　变化率问题举例 22

2.1.2　导数的定义及几何意义 22

2.1.3 函数连续性和可导性的关系 26

练习2-1 27

2.2　求导法则 28

2.2.1 函数四则运算的求导法则 28

2.2.2　反函数、复合函数的求导法则 28

2.2.3　隐函数、对数的求导方法 31

2.2.4 由参数方程所确定的函数的导数 33

2.2.5　初等函数的导数 34

2.2.6　高阶导数 35

练习2-2 36

2.3 函数的微分 38

2.3.1　微分的概念及几何意义 38

2.3.2　一阶微分形式不变性 40

2.3.3　微分在近似求值中的应用 41

练习2-3 42

2.4　中值定理与罗彼塔法则 43

2.4.1　中值定理 43

2.4.2　罗彼塔（L'Hopital）法则 46

练习2-4 48

2.5　利用导数研究函数的性态 49

2.5.1 函数单调性的判定 49

2.5.2　函数的极值、最值 51

2.5.3 函数的凹凸性和拐点函数图像的描绘 55

2.5.4　曲线的渐近线 57

2.5.5　函数作图的一般步骤 58

练习2-5 60

2.6　本章小结 62

习题二 62

第3章　不定积分 65

3.1　不定积分的概念与性质 65

3.1.1 不定积分的概念 65

3.1.2　不定积分的性质 68

3.1.3　基本积分公式 69

练习3-1 72

3.2　换元积分法 73

3.2.1　第一换元积分法 73

3.2.2　第二换元积分法 80

练习3-2 86

3.3　分部积分法 87

练习3-3 91

3.4　积分表的使用 92

3.4.1 直接查表 92

3.4.2　先代换后查表 93

3.4.3　用递推公式 94

练习3-4 95

3.5　本章小结 95

习题三 96

第4章　定积分及其应用 98

4.1　定积分的概念与性质 98

4.1.1 两个引例 98

4.1.2　定积分的定义和几何意义 101

4.1.3　定积分的性质 103

练习4-1 106

4.2　微积分学基本定理 107

4.2.1 积分上限函数及其导数 107

4.2.2　牛顿—莱布尼兹公式 110

练习4-2 111

4.3 定积分的计算 112

4.3.1 定积分的换元积分法 112

4.3.2　定积分的分部积分法 116

练习4-3 118

4.4　定积分在几何中的应用 118

4.4.1 微元法 118

4.4.2　直角坐标系下平面图形的面积 120

4.4.3　旋转体的体积 124

练习4-4 128

4.5　定积分在其他方面的应用 128

4.5.1 函数的平均值 128

4.5.2　定积分在物理学中的应用 130

4.5.3 定积分在医学上的应用 135

4.5.4　定积分在经济学上的应用 137

练习4-5 138

4.6　广义积分 139

4.6.1 无穷区间上的广义积分 139

4.6.2　含有无穷间断点函数的广义积分 142

练习4-6 143

4.7　本章小结 143

习题四 144

第5章　多元函数微积分 146

5.1　空间几何简介 146

5.1.1 空间直角坐标系 146

5.1.2　空间任意两点间的距离 147

5.1.3　曲面与方程 148

练习5-1 150

5.2　多元函数 151

5.2.1　多元函数的概念 151

5.2.2　二元函数的极限与连续 153

练习5-2 155

5.3　偏导数与全微分 156

5.3.1　偏导数 156

5.3.2　高阶偏导数 158

5.3.3　全微分 160

练习5-3 162

5.4　多元复合函数与隐函数求导法则 163

5.4.1　多元复合函数求导法则 163

5.4.2　多元隐函数求导方法 165

练习5-4 166

5.5　多元函数的极值 167

5.5.1　二元函数极值的概念和求法 167

5.5.2　多元函数的最值 169

练习5-5 170

5.6　二重积分 170

5.6.1　二重积分的概念 170

5.6.2　二重积分的性质 172

5.6.3　二重积分的计算 173

练习5-6 177

5.7　本章小结 178

习题五 178

第6章　常微分方程 182

6.1　微分方程的基本概念 182

练习6-1 184

6.2　一阶微分方程 184

6.2.1　可分离变量的微分方程 185

6.2.2　齐次方程 186

6.2.3　一阶线性微分方程 187

练习6-2 189

6.3　可降阶的微分方程 190

6.3.1　右端仅含x的方程 190

6.3.2　右端不显含y的方程 191

6.3.3　右端不显含x的方程 192

练习6-3 193

6.4　二阶常系数线性微分方程 193

6.4.1　二阶线性微分方程解的结构 193

6.4.2　二阶常系数线性齐次微分方程 195

6.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程 197

练习6-4 199

6.5　本章小结 200

习题六 200

第7章　线性代数初步 202

7.1　行列式 202

7.1.1　二阶与三阶行列式 202

7.1.2　行列式的成项规则 203

7.1.3　n阶行列式 205

7.1.4　克莱姆法则 208

练习7-1 209

7.2　矩阵的概念 211

7.2.1　矩阵的概念 211

7.2.2　矩阵的运算 211

7.2.3 逆矩阵 214

7.2.4　分块矩阵 215

练习7-2 217

7.3　矩阵的初等变换与线性方程组 218

7.3.1　矩阵的初等变换 218

7.3.2　初等方阵 219

7.3.3　利用初等变换解线性方程组 220

练习7-3 222

7.4　n维向量 223

7.4.1　向量的线性相关性 223

7.4.2　向量组的秩 224

7.4.3 线性方程组的解的结构 225

7.4.4　特征值与特征向量 228

练习7-4 231

7.5 本章小结 232

习题七 232

参考答案 235

附录　积分表 258