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第一部分 预备知识 1

第一章 实轴R1，平面R2及空间R3 1

第一节 点，距离 1

第二节 集合 2

第三节 向量及其运算 3

3.1 向量 3

3.2 向量的线性运算 3

3.3 向量的数量积和向量积 4

3.4 向量的混合积 4

3.5 用空间直角坐标系进行向量运算 5

第二章 函数 8

第一节 函数的定义与性质 8

1.1 函数的定义 8

1.2 函数的简单性质 9

第二节 函数的运算 10

第三节 基本初等函数与初等函数 11

第四节 分段函数 13

第三章 曲线与曲面 15

第一节 平面 15

第二节 直线 16

第三节 点，直线，平面之间的关系 17

3.1 点（x1，x2，x3）与点（y1，y2，y3）的关系 17

3.2 点与平面的关系 17

3.3 点（x0，y0，z0）与直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n的关系 17

3.4 两个空间平面的相互关系 17

3.5 两条空间直线的相互关系 18

3.6 直线与空间平面的关系 18

第四节 空间曲面 20

4.1 简单的二次曲面 20

4.2 特殊空间曲面：柱面、旋转面、锥面方程 21

第五节 曲线 24

第四章 坐标系与坐标变换 26

第一节 平面极坐标系 26

第二节 空间柱坐标系 28

第三节 空间球坐标系 28

第二部分 微分学 30

第五章 极限 30

第一节 数列的极限 30

1.1 数列｛xn｝＋∞n=1 30

1.2 数列的分类 30

1.3 数列的子列｛x？｝？ 31

1.4 数列的运算—四则运算 31

1.5 数列的极限 31

1.6 数列极限运算性质 32

1.7 数列收敛的证明方法 33

1.8 数列极限不存在的证明方法 38

1.9 数列极限的性质 38

第二节 一元函数的极限 39

2.1 一元函数极限的概念 39

2.2 函数极限的运算性质 40

2.3 函数极限的性质 40

2.4 函数有极限的证明方法 41

2.5 函数极限的计算方法 41

第三节 多元函数的极限 46

3.1 多元函数的极限定义 46

3.2 多元函数的极限多样性 46

3.3 多元函数的极限的运算性质 47

3.4 多元函数的极限存在的证明 47

第四节 函数的连续性及连续函数的性质 48

4.1 函数在一点连续的概念 48

4.2 一元函数的连续性 48

4.3 有界闭区间上一元连续函数的性质 51

4.4 有界闭区域上多元连续函数的性质 52

第五节 近年考题 53

第六章 一元函数的导数与微分 56

第一节 一元函数导数与微分的定义 56

1.1 导数的定义 56

1.2 微分的定义 57

1.3 导数的几何意义：切线的斜率 57

第二节 一元函数导数的运算法则及初等函数的导数与微分 60

2.1 导数的四则运算法则 60

2.2 微分的四则运算法则 60

2.3 复合函数求导 60

2.4 初等函数的导数公式 61

第三节 一元函数的高阶导数 63

3.1 导函数 63

3.2 高阶导数 63

3.3 莱布尼茨公式 64

第四节 近年考题 66

第七章 多元函数的偏导数与全微分 67

第一节 多元函数偏导数与全微分的定义 67

1.1 二元函数偏导数 67

1.2 全微分 68

1.3 多元函数的方向导数 71

1.4 多元函数的梯度 71

1.5 偏导函数 73

1.6 多元函数连续，偏导存在，可微以及偏导函数连续之间的关系 73

1.7 高阶偏导数 73

第二节 多元函数偏导的运算法则 73

第三节 隐函数，反函数及参数函数的微分 77

3.1 隐函数的求导 77

3.2 反函数求导 79

3.3 参数函数 80

第四节 近年考题 81

第八章 微分学的应用 83

第一节 微分中值定理 83

1.1 微分中值定理 83

1.2 等式的证明 83

1.3 不等式的证明 84

1.4 存在性证明 86

1.5 其他题目 87

第二节 泰勒公式 88

2.1 一元函数的泰勒公式 88

2.2 常见函数的泰勒展开 88

2.3 二元函数的二阶泰勒公式 89

2.4 直接展开与间接展开 89

2.5 泰勒展开的应用 92

第三节 洛必达法则 95

第四节 一元函数的性态 97

4.1 基本概念 97

4.2 一阶导数判断法 97

4.3 二阶导数判别法 98

4.4 渐近线 98

4.5 曲线作图 98

4.6 曲率与曲率半径 98

第五节 多元函数的极值与最值 104

5.1 基本概念 104

5.2 极值点的必要条件 104

5.3 极值点的充分条件 104

5.4 多元函数的条件极值与最值 106

第六节 几何应用 113

6.1 平面曲线的切线与法线 113

6.2 空间曲面的切平面与法线 115

6.3 空间曲线的切线和法平面 118

第七节 近年考题 120

第三部分 积分 123

第九章 一元函数的积分 123

第一节 一元函数的不定积分 123

1.1 基本概念 123

1.2 不定积分的基本性质 124

1.3 常见的积分公式 124

1.4 不定积分的计算方法 125

第二节 一元函数定积分的定义及性质 133

2.1 定积分的定义 133

2.2 定积分的性质 134

第三节 变限积分定义的函数 136

3.1 变限积分 136

3.2 有关变限积分定义的函数的问题 138

第四节 定积分的计算 141

4.1 牛顿—莱布尼兹公式 141

第五节 关于定积分的证明题 147

5.1 等式问题 147

5.2 不等式问题 150

第六节 一元函数的广义积分 155

6.1 基本概念 155

6.2 非负函数的广义积分收敛性判断 156

6.3 一般函数（可正负交错函数）的广义积分收敛性判断 157

第七节 近年考题 161

第十章 二重积分 164

第一节 定义和性质 164

1.1 二重积分的基本概念 164

1.2 简单性质：对积分区域的可加性，线性性，保序性，估值性，中值定理 164

第二节 二重积分的计算 167

2.1 直角坐标系下二重积分的计算——化成累次积分 167

2.2 在极坐标系下的二重积分化为二次积分 170

第三节 近年考题 171

第十一章 三重积分 173

第一节 定义与性质 173

1.1 三重积分的概念 173

1.2 三重积分简单性质 173

第二节 三重积分的计算 174

2.1 三重积分在直角坐标系下的计算：累次积分法 174

2.2 坐标变换：柱坐标系 176

2.3 在球坐标系下的三重积分化为三次积分 177

第十二章 积分的应用 179

第一节 一元函数定积分的应用 179

1.1 平面区域的面积 179

1.2 曲线的弧长 179

1.3 旋转体体积 180

1.4 旋转曲面的表面积 181

第二节 二重积分的应用 181

2.1 空间曲面面积 181

2.2 空间区域的体积 182

2.3 质量中心问题 183

第三节 三重积分的应用 184

3.1 质量中心问题 184

3.2 转动惯量问题 184

3.3 万有引力问题 184

第四节 近年考题 185

第十三章 第一类曲线曲面积分 187

第一节 第一类曲线积分 187

1.1 第一类曲线积分的定义与性质 187

1.2 第一类曲线积分的计算 187

第二节 第一类曲面积分 190

2.1 第一类曲面积分的定义与性质 190

2.2 第一类曲面积分的计算 190

第十四章 第二类曲线曲面积分 193

第一节 第二类曲线积分 193

1.1 第二类曲线积分的定义与性质 193

1.2 第二类曲线积分的计算 193

第二节 第二类曲面积分 195

2.1 第二类曲面积分的定义与性质 195

2.2 第二类曲面积分的计算 196

第三节 场论 198

3.1 数量值函数的梯度，向量值函数的散度和旋度 198

3.2 三个基本公式：Green，Guass，Stokes公式 199

3.3 计算问题 200

3.4 平面曲线积分与路径无关的条件 202

3.5 空间第二类曲线积分与路径无关 204

第四节 近年考题 205

第四部分 级数 208

第十五章 常数项级数 208

第一节 非负常数项级数 208

1.1 基本概念 208

1.2 级数的基本性质 208

1.3 收敛性的判断 209

第二节 一般常数项级数 216

2.1 基本概念 216

2.2 收敛级数的基本性质 216

2.3 收敛性的判断 216

第三节 近年考题 220

第十六章 函数项级数 222

第一节 函数项级数，幂级数 222

1.1 函数项级数的基本概念 222

1.2 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 223

1.3 幂级数在其收敛区间内的基本性质 225

1.4 初等函数的幂级数展开式 226

1.5 幂级数的和函数 229

第二节 傅里叶级数 232

2.1 三角函数系｛1，cosnt，sinnt｜n=1，2，…｝是［—π，π］上的正交性 232

2.2 周期函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数 232

2.3 半周期上定义的函数的延拓，正弦傅里叶级数，余弦傅里叶级数 233

2.4 狄利克雷定理 233

第三节 近年考题 236

第五部分 常微分方程 238

第十七章 一阶常微分方程 238

第一节 基本概念 238

第二节 一阶常微分方程求解 239

2.1 变量可分离的方程求解 239

2.2 可化成分离变量方程的方程 240

2.3 一阶线性常微分方程求解 241

2.4 可化为一阶线性常微分方程的方程 242

2.5 全微分方程 243

第三节 高阶可降阶类型方程的求解 244

3.1 y（n）＝f（x）型方程 244

3.2 y″＝f（x，y′）型方程 244

3.3 y″＝f（y，y′）型方程 245

第四节 近年考题 247

第十八章 n阶线性微分方程 249

第一节 解的性质及解的结构 249

第二节 常系数齐次线性微分方程 250

2.1 n阶线性常系数齐次方程的求解 250

第三节 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 252

第四节 常微分方程的应用 256

第五节 近年考题 259

第六部分 微积分的经济学应用 260

第十九章 差分方程 260

第一节 差分方程简介 260

第二节 一阶线性常系数差分方程的解法及其应用 261

第二十章 数学在经济学中的应用 263

第一节 经济学中的函数 263

第二节 微积分在经济学中的应用 263

第三节 近年考题 264