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第1章 函数　极限　连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念与分段函数 1

1.1.2　函数的几种特性 4

1.1.3　反函数 6

1.1.4　复合函数和初等函数 6

1.1.5　函数模型的建立 10

习题1.1 11

1.2　极限 11

1.2.1　数列的极限 12

1.2.2　函数的极限 13

1.2.3　无穷小量 15

1.2.4　无穷大量 16

1.2.5　极限的性质 16

习题1.2 16

1.3　极限的运算 17

1.3.1　极限的四则运算法则 17

1.3.2　两个重要极限 20

1.3.3　无穷小量的比较 23

习题1.3 24

1.4　函数的连续性 25

1.4.1　函数连续性的定义 25

1.4.2　函数的间断点 27

1.4.3　初等函数的连续性 28

习题1.4 29

1.5　闭区间上连续函数的性质 30

习题1.5 30

1.6　常用经济函数 31

1.6.1　需求函数与供给函数 31

1.6.2　总成本函数、收入函数和利润函数 32

习题1.6 32

第2章　导数与微分 33

2.1　导数的概念 33

2.1.1　变化率问题举例 33

2.1.2　导数的定义 34

2.1.3　导数基本公式 35

2.1.4　导数的几何意义 37

2.1.5　函数的可导性与连续性 38

习题2.1 38

2.2　导数的运算 39

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 39

2.2.2　反函数的求导法则 41

2.2.3　复合函数的求导法则 43

2.2.4　隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则 46

2.2.5　高阶导数 47

习题2.2 51

2.3　函数的微分及其应用 52

2.3.1　微分的定义 52

2.3.2　微分的几何意义 54

2.3.3　微分的运算 54

2.3.4　微分在近似计算中的应用 55

习题2.3 55

第3章　导数的应用 57

3.1 中值定理 57

3.1.1　罗尔定理 57

3.1.2　拉格朗日定理 58

3.1.3　柯西定理 59

习题3.1 59

3.2　罗必达法则 59

3.2.1　“0/0”型未定式 60

3.2.2　“∞/∞”型未定式 61

3.2.3　其他类型未定式极限的计算 62

习题3.2 63

3.3　函数的单调性及其极值 63

3.3.1　函数单调性的判定 63

3.3.2　函数的极值 65

习题3.3 68

3.4　曲线的凹向和拐点 函数图形的描绘 68

3.4.1 函数的凹向及其判定 68

3.4.2　曲线的拐点 69

3.4.3　曲线的渐近线 70

3.4.4　函数图形的描绘 71

习题3.4 73

3.5　曲线的最大值和最小值 73

3.5.1 函数在闭区间上的最大值与最小值 73

3.5.2　应用问题举例 74

习题3.5 75

3.6　导数在经济分析中的应用 75

3.6.1　边际分析 76

3.6.2　弹性分析 77

习题3.6 77

3.7　平面曲线的曲率 78

3.7.1　弧微分 78

3.7.2　曲率及其计算公式 79

3.7.3　曲率圆与曲率半径 80

习题3.7 81

第4章　不定积分与定积分 82

4.1　不定积分的概念与性质 82

4.1.1　原函数的概念 82

4.1.2　不定积分的定义 83

4.1.3　不定积分的几何意义 83

4.1.4　不定积分的性质 84

4.1.5　不定积分的基本公式 84

习题4.1 86

4.2　定积分的概念与性质 87

4.2.1　引例 87

4.2.2　定积分的概念 89

4.2.3　定积分的几何意义 90

4.2.4　定积分的性质 91

习题4.2 93

4.3　微积分基本定理 93

4.3.1　积分上限函数 93

4.3.2　微积分基本定理 95

习题4.3 97

4.4　积分法 97

4.4.1　换元积分法 97

4.4.2　分部积分法 105

4.4.3　有理函数的积分 108

习题4.4 110

4.5　广义积分 111

4.5.1　无限区间上的广义积分 111

4.5.2　无界函数的广义积分 113

习题4.5 115

4.6　定积分在几何上的应用 115

4.6.1　定积分的微元法 115

4.6.2　平面图形的面积 116

4.6.3　体积 119

习题4.6 121

4.7　定积分在经济上的应用 121

习题4.7 122

4.8　定积分在物理方面的应用 122

4.8.1　变力沿直线所做的功 123

4.8.2　液体的压力 123

习题4.8 124

第5章　常微分方程 125

5.1　微分方程的基本概念 125

5.1.1　引例 125

5.1.2　微分方程的基本概念 126

5.1.3　微分方程解的几何意义 127

习题5.1 127

5.2　可分离变量的微分方程 齐次微分方程 127

5.2.1　可分离变量的微分方程 127

5.2.2　齐次微分方程 129

习题5.2 130

5.3　一阶线性微分方程 131

5.3.1　一阶线性微分方程的概念 131

5.3.2　一阶齐次线性微分方程的解法 132

5.3.3　一阶非齐次线性微分方程的解法 132

习题5.3 134

5.4　二阶常系数线性齐次微分方程 135

5.4.1　二阶常系数线性齐次微分方程的概念 135

5.4.2　二阶常系数线性齐次微分方程解的结构 135

5.4.3　二阶常系数线性齐次微分方程的解法 136

习题5.4 138

5.5　二阶常系数非齐次线性微分方程 138

5.5.1　二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构 139

5.5.2　二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 139

习题5.5 143

5.6　常微分方程的应用举例 143

习题5.6 146

第6章　拉普拉斯变换 148

6.1　拉普拉斯变换的基本概念 148

6.1.1　拉氏变换的基本概念 148

6.1.2　工程中常用的两个函数及其拉氏变换 149

习题6.1 152

6.2　拉普拉斯变换的性质 152

习题6.2 156

6.3　拉普拉斯变换的逆变换 156

6.3.1　拉氏逆变换 156

6.3.2　卷积公式 159

习题6.3 160

6.4　拉普拉斯变换应用举例 160

6.4.1　解常系数线性微分方程 161

6.4.2　线性系统的传递函数 163

习题6.4 165

第7章　无穷级数 168

7.1　数项级数的概念和性质 168

7.1.1　引例 168

7.1.2　数项级数的基本概念 169

7.1.3　数项级数的基本性质 171

7.1.4　数项级数收敛的必要条件 172

习题7.1 173

7.2　数项级数的审敛法 173

7.2.1　正项级数及其审敛法 173

7.2.2　交错级数及其审敛法 178

7.2.3　绝对收敛与条件收敛 178

习题7.2 180

7.3　幂级数 180

7.3.1　函数项级数的概念 180

7.3.2　幂级数及其敛散性 181

7.3.3　幂级数在收敛区间上的性质 185

习题7.3 186

7.4　函数的幂级数展开式 187

7.4.1　泰勒级数 187

7.4.2　函数展开成幂级数 188

7.4.3　幂级数展开式在近似计算中的应用 191

习题7.4 192

7.5　傅里叶级数 192

7.5.1　三角级数　三角函数系的正交性 192

7.5.2　周期为2π的函数展开成傅里叶级数 195

7.5.3　正弦级数和余弦级数 199

7.5.4　任意区间上的函数展开为傅里叶级数 202

习题7.5 204

第8章　空间向量与空间解析几何 205

8.1　空间直角坐标系 空间向量 205

8.1.1　空间直角坐标系 205

8.1.2　向量及其线性运算 207

8.1.3　向量的坐标表示 209

8.1.4　数量积　向量积 211

习题8.1 215

8.2　平面与空间直线 215

8.2.1　点的轨迹方程的概念 215

8.2.2　平面及其方程 216

8.2.3　空间直线及其方程 220

习题8.2 224

8.3　曲面与空间曲线 225

8.3.1　几种常见的二次曲面及其方程 225

8.3.2　空间曲线及其方程 230

习题8.3 233

第9章 多元函数微分学 234

9.1　多元函数的概念与极限 234

9.1.1　多元函数的概念 234

9.1.2　二元函数的极限与连续 235

习题9.1 235

9.2　偏导数 236

9.2.1　偏导数的概念 236

9.2.2　偏导数的求法 236

9.2.3　偏导数的几何意义 237

9.2.4　高阶偏导数 237

习题9.2 238

9.3　全微分 238

9.3.1　全微分的概念 239

9.3.2　全微分的计算 239

9.3.3　全微分在近似计算中的应用 240

习题9.3 240

9.4　多元复合函数的求导法则 隐函数的求导法 240

9.4.1　多元复合函数的求导法则 240

9.4.2　隐函数的求导法则 243

习题9.4 244

9.5　偏导数的应用 245

9.5.1　空间曲线的切线与法平面 245

9.5.2　曲面的切平面与法线 246

9.5.3　二元函数的极值 247

9.5.4　二元函数的最值 248

9.5.5　条件极值 249

习题9.5 251

第10章 多元函数积分学 252

10.1　二重积分的概念与性质 252

10.1.1　二重积分的概念 252

10.1.2　二重积分的性质 254

习题10.1 255

10.2　二重积分的计算方法 256

10.2.1　利用直角坐标计算二重积分 256

10.2.2　利用极坐标计算二重积分 258

习题10.2 260

10.3　二重积分的应用 260

10.3.1　几何上的应用 260

10.3.2　物理上的应用 262

习题10.3 264

第11章　线性代数初步 265

11.1　行列式的定义 265

11.1.1　二阶、三阶行列式 265

11.1.2　n阶行列式 268

习题11.1 270

11.2　行列式的性质与计算 270

11.2.1　行列式的性质 270

11.2.2　行列式的计算 273

习题11.2 275

11.3　克莱姆法则 276

习题11.3 278

11.4　矩阵的概念与运算 279

11.4.1　矩阵的概念 279

11.4.2　矩阵的运算 281

习题11.4 287

11.5　逆矩阵与初等变换 288

11.5.1　逆矩阵 288

11.5.2　矩阵的初等变换 291

习题11.5 293

11.6　矩阵的秩 293

11.6.1　矩阵的秩的概念 293

11.6.2　初等行变换求矩阵的秩 294

习题11.6 295

11.7　线性方程组解的判定 295

11.7.1　高斯消元法 295

11.7.2　线性方程组解的判定 298

习题11.7 302

第12章　概率论与数理统计 303

12.1　随机事件与概率 303

12.1.1　随机现象 303

12.1.2　随机事件 303

12.1.3　事件间的关系与运算 304

12.1.4　事件的概率 306

习题12.1 308

12.2　概率的基本公式 309

12.2.1　概率的加法公式 309

12.2.2　概率的乘法公式 311

12.2.3　事件的独立性 313

12.2.4　伯努利概型 315

12.2.5　全概率公式 315

习题12.2 316

12.3　随机变量及其分布 317

12.3.1　随机变量 317

12.3.2　随机变量的分布 318

习题12.3 325

12.4　随机变量的数字特征 326

12.4.1　数学期望（平均数） 326

12.4.2　方差 327

12.4.3　期望和方差的性质 329

12.4.4　常用分布的期望与方差 329

习题12.4 330

12.5　总体　样本　统计量 330

12.5.1　总体和样本 330

12.5.2　统计量 331

12.5.3　常用统计量 332

12.5.4　统计量的分布 332

习题12.5 335

12.6　参数估计 335

12.6.1　参数的点估计 336

12.6.2　参数的区间估计 339

习题12.6 341

12.7　假设检验 342

12.7.1　假设检验问题的提出 342

12.7.2　假设检验的原理与方法 343

12.7.3　正态总体参数的假设检验 344

习题12.7 347

12.8　一元线性回归分析 347

12.8.1　一元线性回归方程 348

12.8.2　一元线性回归的相关性检验 349

12.8.3 利用线性回归方程作预测与控制 349

习题12.8 351

附录 353

附录1　泊松分布表 353

附录2　正态分布表 354

附录3　t分布临界值表 355

附录4　x2分布临界值表 356

附录5　相关系数检验表 357

参考文献 358