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第一篇 一元函数微积分 3

第一章 极限与连续 3

1 函数 3

函数的概念 3

函数的图像 5

函数的性质 6

复合函数 8

反函数 9

初等函数 10

习题 15

2 数列的极限 16

几个例子 16

无穷小量 18

无穷小量的运算 19

数列的极限 21

收敛数列的性质 22

单调有界数列 26

Cauchy收敛准则 28

子列 29

习题 30

3 函数的极限 31

自变量趋于有限值时函数的极限 31

极限的性质 34

单侧极限 39

自变量趋于无限时函数的极限 40

习题 43

4 连续函数 44

函数在一点的连续性 45

函数的间断点 48

初等函数的连续性 49

闭区间上连续函数的性质 50

无穷小和无穷大的连续变量 52

曲线的渐近线 56

习题 59

第二章 微分与导数 61

1 微分与导数的概念 61

一个实例 61

微分的概念 62

导数的概念 64

导数的意义 66

微分的几何意义 68

习题 69

2 求导运算 70

几个初等函数的导数 70

四则运算的求导法则 71

复合函数求导的链式法则 73

反函数的求导法则 76

基本初等函数的导数表 79

对数求导法 81

高阶导数 82

习题 85

3 微分运算 86

基本初等函数的微分公式 86

微分运算法则 87

一阶微分的形式不变性 88

隐函数求导法 88

由参数方程确定的曲线的斜率 90

微分的应用：近似计算 92

微分的应用：误差估计 94

习题 95

4 微分学中值定理 96

局部极值与Fermat定理 97

Rolle定理 97

微分学中值定理 99

Cauchy中值定理 101

习题 102

5 L′Hospital法则 103

0/0型的L′Hospital法则 104

∞/∞型的L′Hospital法则 106

其他不定型的极限 107

习题 109

6 Taylor公式 110

带Peano余项的Taylor公式 111

带Lagrange余项的Taylor公式 112

Maclaurin公式 114

习题 117

7 函数的单调性和凸性 118

函数的单调性 118

函数的极值 121

函数的最大值和最小值 123

函数的凸性 128

曲线的拐点 129

函数图像的描绘 130

习题 133

8 函数方程的近似求解 135

习题 139

第三章 一元函数积分学 140

1 定积分的概念、性质和微积分基本定理 140

面积问题 141

路程问题 142

定积分的定义 142

定积分的性质 145

原函数 146

微积分基本定理 148

习题 149

2 不定积分的计算 151

不定积分 151

基本不定积分表 152

不定积分的线性性质 153

第一类换元积分法（凑微分法） 154

第二类换元积分法 158

分部积分法 161

有理函数的积分 164

某些无理函数的积分 167

三角函数有理式的积分 169

习题 171

3 定积分的计算 174

分部积分法 174

换元积分法 176

数值积分 181

习题 184

4 定积分的应用 187

微元法 187

面积问题（直角坐标下的区域） 188

面积问题（极坐标下的区域） 189

已知平行截面面积求体积 190

旋转体的体积 191

曲线的弧长 192

旋转曲面的面积 193

曲线的曲率 195

由分布密度求分布总量 198

动态过程的累积效应 200

习题 203

5 反常积分 205

无穷限的反常积分 205

比较判别法 208

无界函数的反常积分 209

Cauchy主值积分 214

Γ函数 216

B函数 217

习题 219

第二篇 线性代数与空间解析几何 223

第四章 矩阵和线性方程组 223

1 向量与矩阵 224

向量 224

矩阵 224

矩阵的运算 227

分块矩阵及运算 233

习题 236

2 行列式 238

行列式的定义 238

行列式的性质 240

习题 245

3 逆矩阵 247

逆矩阵的概念与性质 247

用初等变换求逆矩阵 250

Cramer法则 254

习题 256

4 向量的线性关系 258

线性相关与线性无关 258

与线性关系有关的性质 261

习题 265

5 秩 266

向量组的秩 266

矩阵的秩 268

习题 275

6 线性方程组 276

齐次线性方程组 276

非齐次线性方程组 282

Gauss消元法 289

Jacobi迭代法 292

习题 295

第五章 线性变换、特征值和二次型 298

1 线性空间 298

线性空间 298

线性空间的基与坐标 304

基变换与坐标变换 308

习题 312

2 线性变换及其矩阵表示 314

几种简单的几何变换 314

线性变换 316

线性变换的运算 318

线性变换的矩阵表示 319

不同基下表示矩阵的关系 323

习题 327

3 特征值问题 329

矩阵的特征值和特征向量 329

特征值和特征向量的性质 331

可对角化的矩阵 335

Jordan标准形简介 338

线性变换的特征值和特征向量 340

习题 341

4 内积与内积空间 342

Euclid空间 342

正交基 344

正交矩阵和正交变换 347

酉空间、酉矩阵和酉变换 349

内积空间 350

习题 357

5 正交相似和酉相似 359

对称矩阵、Hermite矩阵和正规矩阵 359

正交相似 360

酉相似 363

习题 366

6 二次型及其标准形式 367

一个例子 367

二次型与对称矩阵 370

化二次型为标准形的几种方法 372

习题 376

7 正定二次型 377

惯性定理 377

正定二次型和正定矩阵 379

用Cholesky分解解线性方程组 384

二次曲线的分类 385

习题 387

第六章 空间解析几何 389

1 向量的内积、外积和混合积 389

空间直角坐标系 389

向量 391

向量的内积和外积 391

向量的混合积 397

习题 399

2 平面和直线 400

平面方程的几种形式 400

直线方程的几种形式 402

平面束 405

点到平面、直线的距离 406

交角 408

习题 410

3 曲面、曲线和二次曲面 412

曲面方程 412

曲线方程 417

二次曲面 419

习题 426

常用的平面曲线 428

部分习题答案与提示 432