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第一章 函数、极限、连续 1

第一节 函数 1

一、区间 1

二、函数的定义 2

三、反函数 3

四、复合函数 4

习题1-1 4

第二节 函数的简单性质 5

一、函数的基本性质 5

二、基本初等函数 6

三、初等函数 8

习题1-2 8

第三节 数列的极限 9

习题1-3 12

第四节 函数的极限 12

一、函数的极限概念 12

二、函数极限性质 14

三、无穷小量与无穷大量 15

习题1-4 15

第五节 极限的运算 16

一、无穷小的运算 16

二、极限的四则运算 17

习题1-5 19

第六节 两个重要极限 等价无穷小替换定理 19

一、两个重要极限 19

二、等价无穷小替换定理 21

习题1-6 22

第七节 函数的连续性 22

一、函数连续概念 22

二、函数的间断点 23

三、初等函数的连续性 25

四、闭区间上连续函数的性质 26

习题1-7 28

第二章 导数与微分 29

第一节 导数概念 29

一、导数的定义 29

二、求导举例 31

三、导数的几何意义 32

四、函数的可导性与连续性的关系 33

习题2-1 34

第二节 初等函数的导数 35

一、函数的和、差、积、商的导数 35

二、反函数的导数 36

三、复合函数的导数 37

四、求导法则与求导公式小结 39

习题2-2 40

第三节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数 41

一、隐函数的导数 41

二、由参数方程确定的函数的导数 42

习题2-3 44

第四节 高阶导数 44

习题2-4 46

第五节 微分 47

一、微分概念 47

二、微分的几何意义 49

三、微分的求法 49

四、微分在近似计算中的应用 50

习题2-5 52

第三章 中值定理与导数的应用 53

第一节 中值定理 53

习题3-1 55

第二节 罗必达法则 56

一、0/0型 56

二、∞／∞型 57

习题3-2 59

第三节 函数的单调性与极值 59

一、函数的单调性及其判别法 59

二、函数的极值及其求法 61

习题3-3 63

第四节 曲线的性态与曲率 63

一、曲线的凹凸与拐点 63

二、曲率 65

习题3-4 67

第五节 函数的最大值与最小值 67

习题3-5 69

第四章 不定积分 70

第一节 不定积分概念与性质 70

一、原函数与不定积分的概念 70

二、不定积分的性质 71

三、基本积分公式 71

习题4-1 74

第二节 换元积分法 74

一、第一换元积分法（凑微分法） 75

二、第二换元积分法 77

习题4-2 80

第三节 分部积分法 81

习题4-3 83

第四节 有理函数积分举例 84

习题4-4 86

第五章 定积分及其应用 87

第一节 定积分的概念与性质 87

一、两个实例 87

二、定积分的定义 88

三、定积分的几何意义 89

四、定积分的性质 90

习题5-1 91

第二节 定积分基本公式 92

一、积分上限的函数及其导数 92

二、定积分基本公式 93

习题5-2 94

第三节 定积分的换元法与分部积分法 95

一、定积分的换元法 95

二、定积分的分部积分法 96

习题5-3 97

第四节 定积分在几何上的应用 98

一、定积分的元素法 98

二、平面图形的面积 98

三、立体的体积 101

习题5-4 102

第五节 定积分在物理上的应用 103

一、变力沿直线所作的功 103

二、水的压力 105

习题5-5 106

第六节 广义积分 106

一、无穷区间上的广义积分 106

二、被积函数为无界函数的广义积分 107

习题5-6 108

第六章 向量代数和空间解析几何 109

第一节 空间直角坐标系 109

一、空间点的直角坐标 109

二、空间两点间的距离 110

习题6-1 111

第二节 向量的概念及其坐标 111

一、向量的概念 111

二、向量的加减法、数量与向量的乘积 111

三、向量的坐标表示法 113

四、向量的模和方向的坐标表示式 115

习题6-2 116

第三节 数量积和向量积 116

一、两向量的数量积 116

二、两向量的向量积 118

习题6-3 119

第四节 空间平面 120

一、平面的方程 120

二、两平面的夹角 123

习题6-4 124

第五节 空间直线 124

一、空间直线的方程 124

二、两直线的夹角 126

三、平面与直线的夹角 126

习题6-5 127

第六节 曲面及其方程 128

一、旋转曲面 128

二、柱面 128

三、二次曲面简介 129

习题6-6 131

第七节 空间曲线及其投影 131

一、空间曲线的方程 131

二、空间曲线在坐标面上的投影 133

习题6-7 133

第七章 多元函数微分法及其应用 135

第一节 多元函数的基本概念 135

一、多元函数概念 135

二、二元函数的极限 137

三、二元函数的连续性 137

习题7-1 138

第二节 偏导数 139

一、偏导数的定义及求法 139

二、偏导数的几何意义 140

三、高阶编导数 141

习题7-2 142

第三节 全微分及其应用 142

一、全微分的定义 142

二、全微分在近似计算中的应用 144

习题7-3 145

第四节 复合函数的求导法则 145

一、二元复合函数的偏导数 145

二、一个自变量的情形 146

三、只有一个中间变量的情形 147

习题7-4 147

第五节 隐函数的求导公式 148

一、一元隐函数的求导公式 148

二、二元隐函数的求导公式 149

习题7-5 150

第六节 多元函数的最大值和最小值 150

一、二元函数的极值 150

二、最大值和最小值 152

三、条件极值和拉格朗日乘数法 153

习题7-6 155

第八章 重积分及其应用 156

第一节 二重积分的概念和性质 156

一、二重积分的概念 156

二、二重积分的性质 158

第二节 二重积分的计算法 159

一、利用直角坐标计算二重积分 159

二、利用极坐标计算二重积分 162

习题8-2 165

第三节 二重积分的应用 166

一、空间立体的体积 166

二、平面薄片的质量 167

三、平面薄片的重心 168

四、平面薄片的转动惯量 169

习题8-3 170

第四节 三重积分 170

一、三重积分的概念 170

二、三重积分的计算法 171

习题8-4 172

第九章 曲线积分与曲面积分 174

第一节 对坐标的曲线积分 174

一、对坐标的曲线积分的概念 174

二、对坐标的曲线积分的计算法 176

习题9-1 179

第二节 格林公式及其应用 180

一、格林公式 180

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 182

三、二元函数的全微分求积 184

习题9-2 186

第三节 对坐标的曲面积分 187

一、对坐标的曲面积分的概念 187

二、对坐标的曲面积分的计算法 188

习题9-3 191

第十章 无穷级数 192

第一节 级数的概念和性质 192

一、级数的一般概念 192

二、级数的基本性质 194

三、级数收敛的必要条件 194

习题10-1 195

第二节 数项级数敛散性判别法 196

一、正项级数敛散性判别法 196

二、交错级数敛散性判别法 199

三、绝对收敛与条件收敛 200

习题10-2 201

第三节 幂级数 202

一、幂级数的有关概念 202

二、幂级数的收敛区间 202

三、幂级数的性质 204

习题10-3 206

第四节 函数展开成幂级数 206

一、泰勒级数 206

二、函数展开成幂级数的方法 207

三、应用举例 211

习题10-4 212

第五节 傅立叶级数 213

一、三角级数 三角函数系的正交性 213

二、函数展开成傅立叶级数 214

三、正弦级数和余弦级数 218

四、以2L为周期的函数的傅立叶级数 220

习题10-5 223

第十一章 微分方程 225

第一节 微分方程的基本概念 225

习题11-1 227

第二节 可分离变量的微分方程 228

习题11-2 229

第三节 齐次微分方程 230

习题11-3 232

第四节 一阶线性微分方程 233

习题11-4 236

第五节 可降阶的高阶微分方程 236

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 236

二、y″＝f（x,y′）型的微分方程 237

三、y″＝f（y,y′）型的微分方程 238

习题11-5 239

第六节 二阶线性微分方程的解的结构 240

习题11-6 242

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 242

习题11-7 245

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 246

一、f（x）＝aeλx的情形 246

二、f（x）＝a0xn+a1xn-1+…+an的情形 248

三、f（x）＝acosωx+bsinωx的情形 249

习题11-8 252

第九节 常系数线性微分方程组求解举例 252

习题11-9 254

附录 256

附录一 积分表 256

附录二 习题答案 264