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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

1.1.1 区间与邻域 1

1.1.2 函数概念及其表示法 2

1.1.3 函数的特性 3

1.1.4 反函数 5

习题1.1 8

第二节 初等函数 8

1.2.1 基本初等函数 8

1.2.2 复合函数和初等函数 10

1.2.3 复合函数图形的叠加 11

习题1.2 13

第三节 数列的极限 13

1.3.1 实际问题中的变化趋势 13

1.3.2 数列的概念 15

1.3.3 数列的极限 15

1.3.4 收敛数列的性质 17

习题1.3 19

第四节 函数的极限 19

1.4.1 x→x0时函数的极限 19

1.4.2 左极限和右极限（当x→x？与x→x？时的极限） 22

1.4.3 x→∞时函数的极限 23

1.4.4 极限的性质 24

习题1.4 25

第五节 无穷小与无穷大 26

1.5.1 无穷小 26

1.5.2 无穷大 27

1.5.3 无穷小与无穷大的关系 28

习题1.5 28

第六节 极限的运算法则 29

习题1.6 34

第七节 极限存在准则 两个重要极限 35

1.7.1 两边夹准则 35

1.7.2 单调有界准则 35

1.7.3 重要极限 36

习题1.7 40

第八节 无穷小的比较 40

1.8.1 无穷小比较的定义 41

1.8.2 利用等价无穷小求极限 42

习题1.8 43

第九节 函数的连续性和间断点 44

1.9.1 函数的连续性 44

1.9.2 函数的间断点 47

习题1.9 49

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 50

1.10.1 连续函数的运算法则与初等函数的连续性 50

1.10.2 利用函数连续性求函数极限 50

习题1.10 51

第十一节 闭区间上连续函数的性质 52

1.11.1 最值定理 52

1.11.2 介值定理 53

习题1.11 55

总习题一 55

第二章 导数与微分 59

第一节 导数的概念 59

2.1.1 引例 59

2.1.2 导数的定义 60

2.1.3 导数的几何意义 63

2.1.4 可导性与连续性的关系 64

习题2.1 64

第二节 导数的四则运算法则 65

习题2.2 68

第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则 69

2.3.1 反函数的导数 69

2.3.2 复合函数的求导法则 70

习题2.3 73

第四节 初等函数的求导 74

习题2.4 79

第五节 高阶导数 80

2.5.1 高阶导数的概念 80

2.5.2 高阶导数的求导法则 81

习题2.5 84

第六节 隐函数的求导法则 由参数方程所确定的函数的求导法则 85

2.6.1 隐函数的求导法则 85

2.6.2 由参数方程所确定的函数的求导法则 88

习题2.6 92

第七节 函数的微分 93

2.7.1 微分的定义 93

2.7.2 微分的几何意义 96

2.7.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 96

2.7.4 微分形式不变性 98

2.7.5 微分在近似计算中的应用 99

习题2.7 101

总习题二 103

第三章 中值定理与导数的应用 107

第一节 中值定理 107

3.1.1 费马定理 107

3.1.2 罗尔定理 108

3.1.3 拉格朗日中值定理 109

3.1.4 柯西中值定理 111

习题3.1 111

第二节 洛必达法则 112

3.2.1 0/0型未定式 113

3.2.2 ∞/∞型未定式 114

3.2.3 其它的未定式 114

习题3.2 117

第三节 泰勒公式 117

习题3.3 121

第四节 函数单调性的判定法 121

习题3.4 124

第五节 函数的极值及其求法 125

习题3.5 129

第六节 最值问题 129

习题3.6 132

第七节 曲线的凹凸性与拐点 133

习题3.7 135

第八节 函数图形的描绘 135

习题3.8 138

第九节 曲率 138

3.9.1 弧微分 138

3.9.2 曲率及其计算公式 139

3.9.3 曲率圆与曲率半径 141

习题3.9 143

总习题三 143

第四章 不定积分 146

第一节 不定积分的概念及性质 146

4.1.1 原函数 146

4.1.2 不定积分 147

4.1.3 基本积分公式表 149

4.1.4 不定积分的性质 150

习题4.1 152

第二节 换元积分法 152

4.2.1 第一换元法 152

4.2.2 第二换元法 158

习题4.2 162

第三节 分部积分法 163

习题4.3 166

第四节 有理函数的积分 166

习题4.4 169

第五节 可化为有理函数的积分 170

4.5.1 三角函数有理式的积分 170

4.5.2 简单无理函数的积分 172

习题4.5 174

总习题四 174

第五章 定积分 178

第一节 定积分的概念 178

5.1.1 引例 178

5.1.2 定积分的定义 181

习题5.1 183

第二节 定积分的性质 积分中值定理 184

5.2.1 定积分的基本性质 184

5.2.2 积分中值定理 187

习题5.2 189

第三节 微积分基本公式 189

5.3.1 变上限积分函数及其导数 190

5.3.2 牛顿—莱布尼茨公式 192

习题5.3 195

第四节 定积分的计算 196

5.4.1 定积分的换元法 196

5.4.2 定积分的分部积分法 200

习题5.4 204

第五节 反常积分 205

5.5.1 无限区间的反常积分 206

5.5.2 无界函数的反常积分 208

5.5.3 反常积分的判别法 212

习题5.5 215

第六节 Г函数与B函数 216

5.6.1 Г函数 216

5.6.2 B函数 218

习题5.6 220

总习题五 221

第六章 定积分的应用 225

第一节 定积分的微元法 225

第二节 平面图形的面积 226

6.2.1 直角坐标情形 226

6.2.2 极坐标情形 229

习题6.2 230

第三节 体积 230

6.3.1 旋转体的体积 230

6.3.2 平行截面面积为已知的立体的体积 232

习题6.3 234

第四节 平面曲线的弧长 234

6.4.1 直角坐标情形 235

6.4.2 参数方程情形 236

6.4.3 极坐标情形 237

习题6.4 238

第五节 定积分在物理学中的应用 239

6.5.1 变力沿直线所作的功 239

6.5.2 水压力 240

6.5.3 引力 241

习题6.5 242

总习题六 243

附录Ⅰ 常用数学公式 245

附录Ⅱ 积分表 248

附录Ⅲ 常用平面曲线及其方程 258

习题答案与提示 260