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1 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 常量与变量 1

1.1.2 函数的概念 1

1.1.3 函数的表示法 2

1.1.4 函数的几个特性 3

1.1.5 反函数 3

1.1.6 函数概念的应用 4

1.2 初等函数 5

1.2.1 基本初等函数 5

1.2.2 复合函数 6

1.2.3 初等函数 6

1.3 极坐标 7

1.3.1 极坐标系的概念 7

1.3.2 点的极坐标与直角坐标的互化 7

1.3.3 曲线的极坐标方程 9

1.4 极限 9

1.4.1 数列的极限 9

1.4.2 函数的极限 10

1.4.3 无穷小量与无穷大量 12

1.5 函数极限的运算 14

1.5.1 函数的极限运算法则 14

1.5.2 未定式的极限运算 14

1.5.3 两个重要极限 16

1.5.4 极限模型 17

1.6 函数的连续性 18

1.6.1 函数的增量 18

1.6.2 函数的连续与间断 19

1.6.3 初等函数的连续性 20

1.6.4 闭区间上连续函数的性质 21

习题1 22

2 导数与微分 26

2.1 导数的概念 26

2.1.1 导数概念 26

2.1.2 可导与连续的关系 28

2.2 导数公式与求导法则 28

2.2.1 导数公式 28

2.2.2 导数的四则运算法则 29

2.2.3 反函数的求导法则 31

2.2.4 复合函数的求导法则 32

2.2.5 隐函数求导方法 33

2.2.6 取对数求导方法 34

2.2.7 参数方程的求导方法 35

2.2.8 高阶导数 35

2.3 变化率模型 36

2.3.1 独立变化率模型 36

2.3.2 相关变化率模型 37

2.3.3 边际函数 38

2.4 函数的微分 39

2.4.1 微分的概念 39

2.4.2 微分的计算 41

2.4.3 微分在近似计算中的应用 42

2.4.4 微分在误差估计中的应用 43

习题2 44

3 导数的应用 46

3.1 中值定理 46

3.1.1 罗尔定理 46

3.1.2 拉格朗日中值定理 47

3.1.3 柯西中值定理 48

3.2 罗必达法则 49

3.3 函数性态的研究 52

3.3.1 函数的单调性和极值 52

3.3.2 曲线的凹凸性与拐点 56

3.3.3 曲线的渐近线 58

3.3.4 函数图形的描绘 60

3.4 函数展为幂级数 63

3.4.1 用多项式近似表示函数 63

3.4.2 常用的几个函数的幂级数展开式 65

习题3 68

4 不定积分 70

4.1 不定积分的概念与性质 70

4.1.1 原函数 70

4.1.2 不定积分的概念 71

4.1.3 不定积分的几何意义 71

4.1.4 不定积分的简单性质 72

4.2 不定积分的基本公式 72

4.2.1 基本公式 72

4.2.2 直接积分法 73

4.3 两种积分法 74

4.3.1 换元积分法 74

4.3.2 分部积分法 81

习题4 84

5 定积分及其应用 86

5.1 定积分的概念 86

5.1.1 两个实际问题 86

5.1.2 定积分的概念 87

5.2 定积分的简单性质 88

5.3 定积分的计算 90

5.3.1 牛顿－莱布尼茨公式 90

5.3.2 定积分的换元法和分部积分法 92

5.4 定积分的应用 94

5.4.1 平面图形的面积 94

5.4.2 旋转体的体积 96

5.4.3 变力作功 98

5.4.4 液体压力 99

5.4.5 定积分在医学上的应用 100

5.5 定积分的近似计算 101

5.6 反常积分和Γ函数 103

5.6.1 反常积分 103

5.6.2 Γ函数 106

习题5 107

6 微分方程 110

6.1 微分方程的基本概念 110

6.1.1 引出微分方程的两个实例 110

6.1.2 常微分方程 111

6.1.3 常微分方程的解 111

6.2 常见微分方程的解法 112

6.2.1 可分离变量的微分方程 112

6.2.2 齐次方程 113

6.2.3 一阶线性微分方程 114

6.2.4 贝努利方程 116

6.2.5 可降阶的二阶微分方程 117

6.2.6 二阶常系数线性微分方程 119

6.2.7 二阶常系数非齐次线性微分方程 123

6.3 拉普拉斯变换 125

6.3.1 拉普拉斯变换及逆变换 125

6.3.2 拉氏变换及逆变换性质 126

6.3.3 拉氏变换解初值问题 127

6.4 微分方程的应用 128

6.4.1 化学反应速率模型 128

6.4.2 医学模型 129

6.4.3 药学模型 130

习题6 132

7 多元函数微分学 136

7.1 预备知识 136

7.1.1 空间直角坐标系 136

7.1.2 向量代数 137

7.1.3 二次曲面简介 140

7.1.4 柱面 141

7.2 多元函数与极限 141

7.2.1 多元函数的概念 141

7.2.2 二元函数的极限 142

7.2.3 二元函数的连续性 144

7.3 多元函数的偏导数 145

7.3.1 偏导数的概念与计算 145

7.3.2 偏导数的几何意义 146

7.3.3 偏导数与连续的关系 147

7.3.4 高阶偏导数 147

7.4 多元函数的全微分 148

7.4.1 全增量与全微分的概念 148

7.4.2 全微分在近似计算上的应用 150

7.5 复合函数的微分法 151

7.5.1 链式法则 151

7.5.2 全微分形式不变性 153

7.6 多元函数的极值 154

7.6.1 极大值和极小值 154

7.6.2 最大值和最小值 155

习题7 156

8 多元函数积分学 159

8.1 二重积分的概念与性质 159

8.1.1 二重积分定义 159

8.1.2 二重积分的性质 160

8.2 二重积分的计算 161

8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 161

8.2.2 极坐标系下二重积分的计算 163

8.3 二重积分的应用 164

8.3.1 二重积分的几何应用 164

8.3.2 二重积分的物理应用 165

8.3.3 利用二重积分计算无穷积分 166

8.4 对坐标的曲线积分 167

8.4.1 对坐标曲线积分的定 167

8.4.2 对坐标曲线积分的性质 168

8.4.3 对坐标曲线积分的计算 169

8.4.4 特殊路径上曲线积分的计算 170

8.4.5 曲线积分模型 171

8.5 格林公式 172

8.5.1 曲线积分与二重积分的关系 172

8.5.2 曲线积分计算平面图形面积 173

8.5.3 曲线积分与路径无关的条件 173

8.5.4 二元函数的全微分求积 175

习题8 176

9 线性代数初步 179

9.1 行列式 179

9.1.1 行列式概念 179

9.1.2 行列式的性质 182

9.1.3 行列式的计算 183

9.2 矩阵 184

9.2.1 矩阵概念 184

9.2.2 矩阵加法 185

9.2.3 数乘矩阵 186

9.2.4 矩阵乘法 187

9.2.5 转置矩阵 189

9.3 逆矩阵 189

9.3.1 方阵 189

9.3.2 逆矩阵 190

9.3.3 可逆的充要条件 191

9.3.4 逆矩阵的计算 191

9.4 矩阵的初等变换与线性方程组 193

9.4.1 矩阵的秩 193

9.4.2 利用初等变换求矩阵的逆矩阵 195

9.4.3 矩阵初等行变换与线性方程组 196

9.4.4 矩阵的特征值与特征向量 200

习题9 201