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第7章 常微分方程——含变化率的方程 1

7.1 微分方程 1

习题7.1 3

7.2 可分离变量的微分方程与齐次方程 4

7.2.1 可分离变量的微分方程 4

7.2.2 齐次方程 6

习题7.2 7

7.3 一阶线性微分方程 7

7.3.1 一阶线性微分方程的概念与解法 8

7.3.2 伯努利方程 10

习题7.3 11

7.4 可降阶的二阶微分方程 12

习题7.4 13

7.5 二阶线性微分方程 13

7.5.1 二阶线性微分方程解的结构 14

7.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程 16

7.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 18

习题7.5 21

7.6 微分方程的应用举例 22

习题7.6 25

7.7 差分方程 26

7.7.1 差分方程的基本概念 26

7.7.2 一阶常系数线性差分方程 27

7.7.3 二阶常系数线性差分方程 30

习题7.7 33

总习题7 34

第8章 无穷级数——离散对象的无穷求和问题 36

8.1 常数项级数的概念与性质 36

8.1.1 常数项级数的概念 36

8.1.2 收敛级数的基本性质 39

习题8.1 42

8.2 正项级数及其审敛法 43

习题8.2 48

8.3 交错级数与任意项级数 49

8.3.1 交错级数及其敛散性的判别法 49

8.3.2 绝对收敛与条件收敛 51

习题8.3 52

8.4 幂级数 52

8.4.1 函数项级数的一般概念 52

8.4.2 幂级数及其收敛性 54

8.4.3 幂级数的运算 58

习题8.4 60

8.5 函数展开成幂级数 61

8.5.1 泰勒级数 61

8.5.2 函数展开成幂级数的方法 63

习题8.5 66

8.6 幂级数在数值计算中的应用 67

习题8.6 68

总习题8 70

第9章 空间解析几何——实现“数”与“形”的和谐统一 72

9.1 空间直角坐标系 72

习题9.1 74

9.2 向量及其线性运算 74

9.2.1 向量的基本概念 74

9.2.2 向量的线性运算 75

9.2.3 向量的坐标表示 76

9.2.4 向量线性运算的坐标表示 77

9.2.5 向量的模与方向余弦 78

习题9.2 80

9.3 向量的数量积与向量积 80

9.3.1 两向量的数量积 80

9.3.2 两向量的向量积 81

习题9.3 84

9.4 平面与直线 84

9.4.1 平面 85

9.4.2 直线 87

9.4.3 平面、直线间的位置关系 89

习题9.4 93

9.5 二次曲面与曲线 94

9.5.1 二次曲面 94

9.5.2 空间曲线 98

习题9.5 101

总习题9 103

第10章 多元函数微分学——一元函数微分学的直接推广与发展 105

10.1 多元函数的基本概念 105

10.1.1 平面区域 n维空间 105

10.1.2 多元函数的概念 107

10.1.3 二元函数的极限 110

10.1.4 二元函数的连续性 111

习题10.1 112

10.2 偏导数与全微分 113

10.2.1 偏导数 113

10.2.2 高阶偏导数 116

10.2.3 全微分 117

习题10.2 120

10.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式 121

10.3.1 复合函数的求导法则 121

10.3.2 全微分形式不变性 124

10.3.3 隐函数的求导公式 125

习题10.3 126

10.4 多元函数微分学的几何应用 127

10.4.1 空间曲线的切线与法平面 127

10.4.2 曲面的切平面与法线 128

习题10.4 130

10.5 最优化及其模型 130

10.5.1 多元函数的极值及其判别法 130

10.5.2 条件极值与拉格朗日乘数法 133

习题10.5 136

总习题10 137

第11章 重积分——一元函数积分学的推广与发展 139

11.1 二重积分的概念与性质 139

11.1.1 二重积分的概念 139

11.1.2 二重积分的基本性质 142

习题11.1 143

11.2 二重积分的计算法 144

11.2.1 利用直角坐标计算二重积分 144

11.2.2 利用极坐标计算二重积分 150

习题11.2 152

11.3 三重积分 153

11.3.1 三重积分的概念 153

11.3.2 三重积分的计算 154

习题11.3 159

11.4 重积分的应用举例 160

11.4.1 重积分在几何上的应用 160

11.4.2 重积分在物理上的应用 164

习题11.4 167

总习题11 168

第12章 曲线积分与曲面积分——定积分的延续与二重积分的发展 171

12.1 对弧长的曲线积分 171

12.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 171

12.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 173

习题12.1 175

12.2 对坐标的曲线积分 175

12.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 175

12.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 178

12.2.3 两类曲线积分之间的联系 179

习题12.2 180

12.3 格林公式及其应用 181

12.3.1 格林公式 181

12.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 184

习题12.3 187

12.4 对面积的曲面积分 188

12.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 188

12.4.2 对面积的曲面积分的计算法 189

习题12.4 191

12.5 对坐标的曲面积分 191

12.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 191

12.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 195

12.5.3 高斯公式与斯托克斯公式介绍 197

习题12.5 201

总习题12 202

附录A MATLAB在高等数学中的应用 204

A.1 MATLAB数学软件入门 204

A.2 MATLAB绘制一元函数图形 208

A.3 MATLAB求极限 212

A.4 MATLAB求一元函数的导数 214

A.5 MATLAB求积分 216

A.6 MATLAB求解微分方程与差分方程 218

A.7 MATLAB在无穷级数中的应用 221

A.8 MATLAB求偏导数与二重积分 223

习题答案 227

参考文献 241